Exercices types : $$7$$^ème partie - Exercice 1

Les deux côtés perpendiculaires à la haie mesurent $$x$$ chacun et la bordure mesure $$30$$ m au total, donc le côté parallèle à la haie mesure :
Une longueur est strictement positive.
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$x\gt 0$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$30-2x\gt 0$$ ce qui nous donne $$x\lt 15$$
Ainsi :

L'aire d'un rectangle est le produit de ses dimensions :
$$\mathcal{A}\left(x\right)=x\times\left(30-2x\right)$$
$$\mathcal{A}\left(x\right)=30x-2x^{2}$$
Ainsi :

Nous allons, pour cela, factoriser par $$a=-2$$ puis faire apparaître le début d'une identité remarquable.
$$\mathcal{A}\left(x\right)=\left(-2\right)\times\left[x^{2}-15x\right]$$
$$\mathcal{A}\left(x\right)=\left(-2\right)\times\left[\left(x-\dfrac{15}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{15}{2}\right)^{2}\right]$$
$$\mathcal{A}\left(x\right)=\left(-2\right)\times\left[\left(x-7{,}5\right)^{2}-56{,}25\right]$$
Enfin :
$$\mathcal{A}\left(x\right)=\left(-2\right)\times\left(x-7{,}5\right)^{2}+\left(-2\right)\times\left(-56{,}25\right)$$
Ainsi :

On note $$S\left(x_{S};y_{S}\right)$$ le sommet de la parabole. Ici, nous avons $$a=-2$$, $$x_{S}=7{,}5$$ et $$y_{S}=112{,}5$$.
$$a\lt 0$$, la parabole est tournée vers le bas et $$S\left(7{,}5;112{,}5\right)$$ est le sommet de la parabole (plus précisément un maximum).$$x_{S}=7{,}5$$ appartient bien à $$\left]0;15\right[$$. Pour $$x=7{,}5$$, le côté parallèle à la haie mesure $$30-2\times 7{,}5=15$$ m.
Ainsi :

$$\mathcal{A}\left(x\right)\geqslant 100$$ équivaut successivement à :
$$-2x^{2}+30x\geqslant 100$$
$$-2x^{2}+30x-100\geqslant 0$$
$$x^{2}-15x+50\leqslant 0$$ (on divise par $$-2$$, qui est négatif : le sens de l'inégalité change)
Ainsi :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-15$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=50$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-15\right)^{2}-4\times 1\times 50$$
$$\Delta=225-200=25$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors le trinôme admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{1}=\dfrac{-\left(-15\right)-\sqrt{25}}{2\times 1}$$ d'où $$x_{1}=5$$
$$x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{2}=\dfrac{-\left(-15\right)+\sqrt{25}}{2\times 1}$$ d'où $$x_{2}=10$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ et que nous connaissons les racines $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=1\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que le trinôme est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :D'après le tableau de signe, $$x^{2}-15x+50\leqslant 0$$ pour $$x\in\left[5;10\right]$$, intervalle contenu dans $$\left]0;15\right[$$.
Ainsi :

D'après la question 4, l'aire maximale est $$112{,}5$$ m² et $$120\gt 112{,}5$$.
Autre méthode : $$\mathcal{A}\left(x\right)=120$$ équivaut successivement à :
$$-2x^{2}+30x=120$$
$$x^{2}-15x+60=0$$
Calcul du discriminant : $$\Delta=\left(-15\right)^{2}-4\times 1\times 60=225-240=-15$$. Comme $$\Delta\lt 0$$ alors l'équation n'admet aucune racine réelle.
Ainsi :