Exercices types : $$6$$^ème partie - Exercice 1

Développons le membre de droite. Pour tout réel $$x$$ :
$$2\left(x+1\right)^{2}-18=2\left(x^{2}+2x+1\right)-18$$
$$2\left(x+1\right)^{2}-18=2x^{2}+4x+2-18$$
$$2\left(x+1\right)^{2}-18=2x^{2}+4x-16=f\left(x\right)$$
Ainsi :

Développons le membre de droite. Pour tout réel $$x$$ :
$$2\left(x-2\right)\left(x+4\right)=2\left(x^{2}+4x-2x-8\right)$$
$$2\left(x-2\right)\left(x+4\right)=2\left(x^{2}+2x-8\right)$$
$$2\left(x-2\right)\left(x+4\right)=2x^{2}+4x-16=f\left(x\right)$$
Ainsi :
On dispose donc de trois écritures : la forme développée $$2x^{2}+4x-16$$, la forme canonique $$2\left(x+1\right)^{2}-18$$ et la forme factorisée $$2\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$ pour $$f\left(0\right)$$, la forme développée est la plus adaptée : $$f\left(0\right)=2\times 0^{2}+4\times 0-16$$ d'où
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ pour $$f\left(-1\right)$$, la forme canonique est la plus adaptée : $$f\left(-1\right)=2\left(-1+1\right)^{2}-18=2\times 0-18$$ d'où

D'après la forme canonique $$f\left(x\right)=2\left(x+1\right)^{2}-18$$, on détermine facilement le sommet de la parabole.
On note $$S\left(x_{S};y_{S}\right)$$ le sommet de la parabole. Ici, nous avons $$a=2$$, $$x_{S}=-1$$ et $$y_{S}=-18$$.
$$a\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut et $$S\left(-1;-18\right)$$ est le sommet de la parabole (plus précisément un minimum).
D'où :
En effet, pour tout réel $$x$$, $$\left(x+1\right)^{2}\geqslant 0$$ donc $$f\left(x\right)\geqslant -18$$.

On utilise la forme factorisée. $$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$2\left(x-2\right)\left(x+4\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul.
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$x-2=0$$ ce qui nous donne $$x=2$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$x+4=0$$ ce qui nous donne $$x=-4$$
Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ sont alors :

On utilise la forme développée. $$f\left(x\right)=-16$$ équivaut successivement à :
$$2x^{2}+4x-16=-16$$
$$2x^{2}+4x=0$$
$$2x\left(x+2\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul.
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$2x=0$$ ce qui nous donne $$x=0$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$x+2=0$$ ce qui nous donne $$x=-2$$
Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=-16$$ sont alors :
On retrouve que $$f\left(0\right)=-16$$ ; par symétrie par rapport à la droite d'équation $$x=-1$$, on a aussi $$f\left(-2\right)=-16$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$ avec l'axe des ordonnées, on a $$x=0$$ et $$f\left(0\right)=-16$$ (question 3), d'où le point $$\left(0;-16\right)$$.
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ avec l'axe des abscisses, on a $$f\left(x\right)=0$$, c'est-à-dire $$x=-4$$ ou $$x=2$$ (question 5), d'où les points $$\left(-4;0\right)$$ et $$\left(2;0\right)$$.
Ainsi :

D'après la question 4, $$a=2\gt 0$$ : la parabole est tournée vers le haut et $$S\left(-1;-18\right)$$ est le sommet de la parabole (plus précisément un minimum).
La fonction $$f$$ est donc décroissante sur $$\left]-\infty;-1\right]$$ puis croissante sur $$\left[-1;+\infty\right[$$.
Le tableau de variation est alors :

D'après la question 5, $$f$$ admet deux racines réelles distinctes $$x_{1}=-4$$ et $$x_{2}=2$$. Le tableau de signe du trinôme du second degré dépend alors du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=2\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :D'après le tableau de signe de $$f$$, on peut résoudre l'inéquation $$f\left(x\right)\leqslant 0$$ : $$f\left(x\right)$$ est négatif ou nul entre les racines, bornes comprises.
Les solutions sont alors :

On place le sommet $$S\left(-1;-18\right)$$, les points d'intersection avec les axes $$\left(-4;0\right)$$, $$\left(2;0\right)$$ et $$\left(0;-16\right)$$, ainsi que le point $$\left(-2;-16\right)$$ symétrique de $$\left(0;-16\right)$$ par rapport à la droite d'équation $$x=-1$$ :