Exercices types : $$5$$^ème partie - Exercice 2

$$\red{\text{La proposition est vraie.}}$$
Nous savons que le discriminant est $$\Delta =b^{2} -4ac$$.
Si $$a$$ et $$c$$ sont de signes opposés alors le produit $$ac$$ est obligatoirement négatif.
Ainsi, on peut écrire que : $$ac<0$$
De ce fait :
$$ac<0$$ équivaut successivement à :
$$-4ac>0$$ ( le fait de multiplier par un nombre négatif change le sens de l'inégalité ).
Nous allons maintenant rajouter $$b^{2}$$ qui est positif.
Soit $$b^{2}-4ac>0$$.
Il en résulte donc que l'équation admet donc deux racines réelles distinctes.

$$\red{\text{La proposition est vraie.}}$$
Le trinôme $$ax^{2}+bx+c$$ étant strictement négatif, cela signifie que la parabole ne passe jamais pas l'axe des abscisses.
Il en résulte que l'équation $$ax^{2}+bx+c=0$$ n'admet aucune racine réelle. Cela est donc équivalent à dire que $$\Delta<0$$.

$$\red{\text{La proposition est fausse.}}$$
Prenons l'exemple du trinôme $$x^{2}+x+1=0$$
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =1^{2} -4\times 1\times1$$
$$\Delta =1-4=-3$$
Donc
Comme $$\Delta <0$$ alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de $$a$$.

• Si $$a>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
• Si $$a<0$$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Il vient alors que :
Autrement dit, nous avons $$\Delta <0$$ et $$x^{2}+x+1>0$$. C'est pour cette raison que la proposition est fausse.

$$\red{\text{La proposition est fausse.}}$$
Si le trinôme du $$2$$^ème degré $$f$$ a pour racines $$1$$ et $$3$$, il se factorise sous la forme : $$a\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)$$ où $$a$$ est un réel quelconque et ce n'est pas obligatoirement $$a=1$$.