Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

On va commencer par factoriser par le nombre devant le $$x^{2}$$ ici en l'occurrence $$3$$.
$$f\left(x\right)=3\times \left[x^{2} -6x+8\right]$$
On va maintenant prendre le coefficient devant le $$x$$ ici $$-6$$ et le multiplier par $$\frac{1}{2}$$.
On a ainsi, ci-dessous :
$$f\left(x\right)=3\times \left[\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} +8\right]$$
En effet, si on développe $$\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$on obtiendra $$x^{2} -6x+\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$c'est pour cela que l'on retranche $$\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$.
On a :
$$f\left(x\right)=3\times \left[\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} +8\right]$$ qui s'écrit après simplification
$$f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -3^{2} +8\right]$$
$$f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -9+8\right]$$
$$f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -1\right]$$. On développe l'expression par $$3$$.
. Cette expression est la forme canonique de $$f$$.

$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$3x^{2}-18x+24=0$$
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-18\right)^{2} -4\times 3\times 24$$
$$\Delta =324-288=36$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-18\right)-\sqrt{36} }{2\times 3}$$ d'où $$x{}_{1} =2$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-18\right)+\sqrt{36} }{2\times 3}$$ d'où $$x{}_{2} =4$$
Les racines de l'équation $$3x^{2}-18x+24=0$$ sont donc :

Ainsi, la forme factorisée de $$f$$ est :

Pour calculer $$f\left(0\right)$$ , prenons la forme développée $$f\left(x\right)=3x^{2}-18x+24$$. Ainsi :

$$f\left(0\right)=3\times0^{2}-18\times0+24$$ d'où

Pour calculer $$f\left(4\right)$$ , prenons la forme factorisée $$f\left(x\right)=3\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$. Ainsi :

$$f\left(4\right)=3\times\left(4-2\right)\times\left(4-4\right)$$
$$f\left(4\right)=3\times2\times0$$ d'où

Pour calculer $$f\left(3-\sqrt{7}\right)$$ , prenons la forme canonique $$f\left(x\right)=3\left(x-3\right)^{2}-3$$. Ainsi :

$$f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\left(3-\sqrt{7}-3\right)^{2}-3$$
$$f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\left(-\sqrt{7}\right)^{2}-3$$
$$f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\times7-3$$ d'où

Pour résoudre $$f\left(x\right)=24$$ , prenons la forme développée $$f\left(x\right)=3x^{2}-18x+24$$. Ainsi :

$$f\left(x\right)=24$$ équivaut successivement à :
$$3x^{2}-18x+24=24$$
$$3x^{2}-18x=24-24$$
$$3x^{2}-18x=0$$
On factorise par $$x$$
$$x\left(3x-18\right)=0$$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$$x=0$$ ou $$3x-18=0$$
$$x=0$$ ou $$3x=18$$
$$x=0$$ ou $$x=\frac{18}{3}$$
$$x=0$$ ou $$x=6$$
L'équation a donc deux solutions :

Pour résoudre $$f\left(x\right)=-9$$ , prenons la forme canonique $$f\left(x\right)=3\left(x-3\right)^{2}-3$$. Ainsi :

$$f\left(x\right)=-9$$ équivaut successivement à :
$$3\left(x-3\right)^{2}-3=-9$$
$$3\left(x-3\right)^{2}=-9+3$$
$$3\left(x-3\right)^{2}=-6$$
$$\left(x-3\right)^{2}=\frac{-6}{3}$$
$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$
Or, un carré est positif ou nul, donc l'équation $$f\left(x\right)=-9$$ n'admet pas de solution.