Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

$$d\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$d\left(x\right)=x^{2}+2x+3-\left(-2x^{2}-x-3\right)$$
$$d\left(x\right)=x^{2}+2x+3+2x^{2}+x+3$$
Ainsi :

Nous allons étudier dans $$\mathbb{R}$$ le signe de la fonction : $$d\left(x\right)=3x^{2}+3x+6$$.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=3$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=6$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =3^{2} -4\times 3\times 6$$
$$\Delta =-63$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta <0$$ alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit, il n'y a pas de solution à l'équation $$3x^{2}+3x+6=0$$ car $$\Delta <0$$.
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta <0$$, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de $$a$$.

• Si $$a>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
• Si $$a<0$$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, $$a=3>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Il vient alors que :
Sur l'intervalle $$\left]-\infty ;+\infty\right[$$ nous avons $$3x^{2}+3x+6>0$$ autrement dit $$f(x)- g(x)>0$$ ou encore $$f(x) >g(x)$$.
Cela signifie que la courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ est au-dessus de la droite $$\mathscr{C}_{g}$$.