Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

On sait que :
$$AD=BC=2$$ cm et $$AB=DC=6$$ cm et que $$DM=x$$
Le segment $$\left[DM\right]$$ est inférieure ou égale à la mesure du segment $$\left[DC\right]$$.
Ainsi :

Le triangle $$ADM$$ est rectangle en $$D$$. D'après le théorème de Pythagore, on a :
$$AM^{2} = DM^{2}+AD^{2}$$
$$AM^{2} = x^{2}+2^{2}$$
Ainsi :

Le triangle $$BCM$$ est rectangle en $$C$$. D'après le théorème de Pythagore, on a :
$$BM^{2} =BC^{2} +CM^{2}$$
Or : $$CM=CD-MD$$ ce qui nous donne : $$CM=6-x$$
Il vient alors que :
$$BM^{2} =2^{2} +\left(6-x\right)^{2}$$
$$BM^{2} =2^{2}+36-12x+x^{2}$$
Ainsi :

Le triangle $$AMB$$ est rectangle en $$M$$ s'il vérifie la réciproque du théorème de Pythagore, il nous faut donc que : $$AM^{2} +BM^{2}=AB^{2}$$
Or nous savons que : $$AM^{2} =x^{2} +4$$ ; $$BM^{2} =x^{2}-12x+40$$ et enfin que $$AB^{2} =6^{2}$$.
On a donc :
$$AM^{2} +BM^{2}=AB^{2}$$ équivaut successivement à :
$$x^{2} +4+x^{2}-12x+40=36$$
$$2x^{2}-12x+8=0$$ . On divise tout par $$2$$, ainsi :
On a bien vérifié que le triangle $$AMB$$ est rectangle en $$M$$ si et seulement si : $$x^{2}-6x+4=0$$

Résolvons : $$x^{2}-6x+4=0$$
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-6\right)^{2} -4\times 1\times 4$$
$$\Delta =36-16=20$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{20} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =3-\sqrt{5}$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{20} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =3+\sqrt{5}$$
Les racines de l'équation $$x^{2} -6x+4=0$$ sont donc :

$$x{}_{1} =3-\sqrt{5}$$ donc $$x{}_{1} \approx0,8$$
$$x{}_{2} =3+\sqrt{5}$$ donc $$x{}_{2} \approx5,2$$
Il existe deux positions possible pour le point $$M$$ sur le segment $$\left[DC\right]$$ tel que le triangle $$AMB$$ soit rectangle en $$M$$.
Il suffit que $$DM =3-\sqrt{5}$$ cm ou alors que $$DM=3+\sqrt{5}$$ cm.