Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 6

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=5$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=2$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =5^{2} -4\times \left(-3\right)\times 2$$
$$\Delta =25+24=49$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-5-\sqrt{49} }{2\times \left(-3\right)}$$ d'où $$x_{1} =2$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-5+\sqrt{49} }{2\times \left(-3\right)}$$ d'où $$x_{2} =-\frac{1}{3}$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=-3<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :

D'après le tableau de signe de $$f$$ obtenu à la question $$1$$, que l'on redonne ci-dessous, on peut résoudre l'inéquation $$-3x^{2} +5x+2\le 0$$.
Les solutions sont alors : $$S=\left]-\infty ;-\frac{1}{3} \right]\cup \left[2;+\infty \right[$$.

Nous allons, pour cela, donner la forme canonique de $$f\left(x\right)=-3x^{2} +5x+2$$.
$$f\left(x\right)=\left(-3\right)\times \left[x^{2} -\frac{5}{3} x-\frac{2}{3} \right]$$
$$f\left(x\right)=\left(-3\right)\times \left[\left(x -\frac{5}{3} \times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(\frac{5}{3} \times \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{2}{3} \right]$$
$$f\left(x\right)=\left(-3\right)\times \left[\left(x-\frac{5}{6} \right)^{2} -\left(\frac{5}{6} \right)^{2} -\frac{2}{3} \right]$$
$$f\left(x\right)=\left(-3\right)\times \left[\left(x-\frac{5}{6} \right)^{2}-\frac{49}{36} \right]$$
Enfin :
$$f\left(x\right)=\left(-3\right)\times \left(x-\frac{5}{6} \right)^{2} +\left(-3\right)\times\left(-\frac{49}{12}\right)$$
$$f\left(x\right)=\left(-3\right)\times \left(x-\frac{5}{6} \right)^{2} +\frac{49}{12}$$
La forme canonique d'un trinôme du second degré est :
$$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ où $$S\left(\alpha ;\beta \right)$$ correspond au sommet de la parabole. On peut aussi noter le sommet $$S\left(x_{S} ;y_{S} \right)$$.
Si $$a>0$$ alors le tableau de variation de $$f$$ est :

Si $$a<0$$ alors le tableau de variation de $$f$$ est :
On note $$S\left(x_{S} ;y_{S} \right)$$ le sommet de la parabole.
Ici, nous avons $$a=-3$$, $$x_{S} =\frac{5}{6}$$ et $$y_{S} =\frac{49}{12}$$.
$$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas et $$S\left(\frac{5}{6};\frac{49}{12}\right)$$ est le sommet de la parabole (plus précisément un maximum).
Le tableau de variation est alors :

$$f\left(x\right)=2$$ équivaut successivement à :
$$-3x^{2} +5x+2=2$$
$$-3x^{2} +5x=0$$
$$x\left(-3x+5\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul.
$$\red{\text{ D'une part :}}$$ $$x=0$$
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$ $$-3x+5=0$$ ce qui nous donne $$x=\frac{5}{3}$$.
Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=2$$ sont alors : $$S=\left\{0;\frac{5}{3} \right\}$$

$$f\left(x\right)=m$$ équivaut successivement à :
$$-3x^{2} +5x+2=m$$
$$-3x^{2} +5x+2-m=0$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=5$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=2-m$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =5^{2} -4\times \left(-3\right)\times \left(2-m\right)$$
$$\Delta =25+12\times \left(2-m\right)$$
$$\Delta =25+24-12m$$
Donc
Nous voulons que l'équation admette deux racines réelles. Cela signifie qu'il faut que $$\Delta >0$$.
Ainsi :
$$49-12m>0$$
$$-12m>-49$$
$$m<\frac{-49}{-12}$$
$$m<\frac{49}{12}$$
L'équation $$f\left(x\right)=m$$ admet deux solutions distinctes lorsque $$m<\frac{49}{12}$$ , autrement dit lorsque $$m\in\left]-\infty;\frac{49}{12}\right[$$