Equations se ramenant au second degré - Exercice 1

La valeur interdite est celle qui annule le dénominateur $$x+1$$.
Ainsi $$x+1=0$$ d'où $$x=-1$$.
Le domaine de définition est : $$D_{f} =\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$$.
Pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$$ , on a :
$$\frac{x^{2} +2x-1}{x+1} =2x-1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{x^{2} +2x-1}{x+1} =\frac{2x-1}{1}$$
$$\left(x^{2} +2x-1\right)\times 1=\left(x+1\right)\times \left(2x-1\right)$$
$$x^{2} +2x-1=2x^{2} -x+2x-1$$
$$x^{2} +2x-1=2x^{2} +x-1$$
$$x^{2} +2x-1-2x^{2} -x+1=0$$
$$-x^{2} +x=0$$
On reconnait une équation du second degré, mais ici on peut résoudre facilement cette équation sans passer par le discriminant.
On va factoriser l'expression par $$x$$.
$$-x^{2} +x=0$$ devient alors :
$$x\left(-x+1\right)=0$$
Il s'agit d'une équation produit nulle.
Il en résulte que :
$$x=0$$ ou $$-x+1=0$$
$$x=0$$ ou $$x=1$$
Les solutions de l'équation $$\frac{x^{2} +2x-1}{x+1} =2x-1$$ sont donc $$S=\left\{0;1\right\}$$.

Les valeurs interdites sont celles qui annulent le dénominateur $$1-x$$ et le dénominateur $$2x+5$$.
Ainsi :
$$1-x=0$$ d'où $$x=1$$.
$$2x+5=0$$ d'où $$x=-\frac{5}{2}$$.
Le domaine de définition est : $$D_{f} =\left]-\infty ;-\frac{5}{2} \right[\cup \left]-\frac{5}{2} ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$$.
Pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;-\frac{5}{2} \right[\cup \left]-\frac{5}{2} ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$$ , on a :
$$\frac{1+x}{2x+5} =\frac{x+1}{1-x}$$ équivaut successivement à :
$$\left(1+x\right)\times \left(1-x\right)=\left(2x+5\right)\times \left(x+1\right)$$
$$1-x^{2} =2x^{2} +2x+5x+5$$
$$1-x^{2} =2x^{2} +7x+5$$
$$1-x^{2} -2x^{2} -7x-5=0$$
$$-3x^{2} -7x-4=0$$
On reconnait une équation du second degré.
On va utiliser le discriminant :$$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times \left(-3\right)\times \left(-4\right)$$
$$\Delta =49-48=1$$
Donc :
L'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{7-\sqrt{1} }{2\times \left(-3\right)}$$ d'où $$x_{1} =-1$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{7+\sqrt{1} }{2\times \left(-3\right)}$$ d'où $$x_{2} =-\frac{4}{3}$$
Les solutions de l'équation $$\frac{1+x}{2x+5} =\frac{x+1}{1-x}$$ sont donc $$S=\left\{-\frac{4}{3} ;-1\right\}$$.