Equations du second degré avec paramètre - Exercice 1

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=m$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-4$$

On va utiliser le discriminant :$$\Delta =b^{2} -4ac$$ .
Ainsi : $$\Delta =2^{2} -4\times m\times \left(-4\right)$$
D'où : $$\Delta =4+16m$$.
Pour que l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admette une seule solution, il faut que $$\Delta =0$$.
Il vient alors que $$4+16m=0$$ qui nous donne $$m=-\frac{1}{4}$$.
De plus, la racine est alors sous la forme : $$x_{0} =\frac{-b}{2a}$$ d'où : $$x_{0} =\frac{-2}{2\times \left(\frac{-1}{4} \right)} =4$$.

D'après la question précédente, on sait que : $$\Delta =4+16m$$
Pour que l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'admette aucune racine, il faut que $$\Delta <0$$.
Ainsi :
$$4+16m<0$$ équivaut successivement à :
$$16m<-4$$
$$m<\frac{-4}{16}$$
$$m<\frac{-1}{4}$$
Finalement, si $$m\in \left]-\infty ;\frac{-1}{4} \right[$$ alors $$\Delta <0$$ et l'équation n'admet donc aucune racine réelle.