Résoudre une équation du second degré sans utiliser le discriminant - Exercice 2

16 min
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Résoudre, dans R\mathbb{R}, les équations suivantes :
Question 1

(4x−7)(9−x)−3(9−x)(x+5)=0\left(4x-7\right)\left(9-x\right)-3\left(9-x\right)\left(x+5\right)=0

Correction
Nous allons commencer par factoriser notre équation.
Le facteur commun ici est 9−x{\color{blue}{9-x}} .
(4x−7)(9−x)−3(9−x)(x+5)=0\left(4x-7\right){\color{blue}{\left(9-x\right)}}-3{\color{blue}{\left(9-x\right)}}\left(x+5\right)=0
(9−x)[4x−7−3×(x+5)]=0{\color{blue}{\left(9-x\right)}}\left[4x-7-3\times \left(x+5\right)\right]=0
(9−x)[4x−7−3×(x+5)]=0\left(9-x\right)\left[4x-7-3\times \left(x+5\right)\right]=0
(9−x)[4x−7−(3×x+3×5)]=0\left(9-x\right)\left[4x-7-\left(3\times x+3\times 5\right)\right]=0
(9−x)[4x−7−(3x+15)]=0\left(9-x\right)\left[4x-7-\left(3x+15\right)\right]=0
(9−x)[4x−7−3x−15]=0\left(9-x\right)\left[4x-7-3x-15\right]=0 Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse car nous avions le signe moins devant la parenthèse.
Ainsi :
(9−x)(x−22)=0\left(9-x\right)\left(x-22\right)=0
Il s'agit d'une équation produit nul.
On a donc : 9−x=09-x=0 ou x−22=0x-22=0
  • D'une part : résolvons 9−x=09-x=0 qui donne −x=−9-x=-9 . D'où : x=9x=9
  • D'autre part : résolvons x−22=0x-22=0 . D'où : x=22x=22
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={9;22}S=\left\{9;22\right\}

    Question 2

    4x2−12x+9=04x^{2} -12x+9=0

    Correction
      Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
    • a2−2×a×b+b2=(a−b)2{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
    4x2−12x+9=04x^{2} -12x+9=0
    (2x)2−2×2x×3+32\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -2\times {\color{blue}2x}\times {\color{red}3}+{\color{red}3}^{2}
    Ici nous avons a=2xa={\color{blue}2x} et b=3b={\color{red}3}. Il vient alors que :
    (2x−3)2=0\left({\color{blue}2x}-{\color{red}3}\right)^{2}=0
    • X2=0⇔X=0X^{2} =0\Leftrightarrow X=0
    2x−3=02x-3=0
    2x=32x=3
    x=32x=\frac{3}{2}
    La solution de l'équation 4x2−12x+9=04x^{2} -12x+9=0 est alors :
    S={32}S=\left\{\frac{3}{2}\right\}

    Question 3

    4x2+8=64x^{2} +8=6

    Correction
    4x2+8=64x^{2} +8=6 équvaut successivement à :
    4x2=6−84x^{2} =6-8
    4x2=−24x^{2} =-2
    x2=−24x^{2} =-\dfrac{2}{4}
    x2=−12x^{2} =-\dfrac{1}{2}
    Attention, ici pour cette équation x2=−12x^{2}=-\dfrac{1}{2}, il est impératif de se souvenir qu’un carreˊe est positif ou nul\red{\text{qu'un carrée est positif ou nul}}
    Il en résulte donc que l'on ne peut pas avoir de solutions réelles à l'équation x2=−12x^{2}=-\dfrac{1}{2} .
    On écrit alors :
    S={∅}S=\left\{\emptyset\right\}

    Question 4

    (5x−6)(8−x)−4(8−x)(x+3)=0\left(5x-6\right)\left(8-x\right)-4\left(8-x\right)\left(x+3\right)=0

    Correction
    Le facteur commun ici est 8−x{\color{blue}{8-x}} .
    (5x−6)(8−x)−4(8−x)(x+3)=0\left(5x-6\right){\color{blue}{\left(8-x\right)}}-4{\color{blue}{\left(8-x\right)}}\left(x+3\right)=0
    (8−x)[5x−6−4×(x+3)]=0{\color{blue}{\left(8-x\right)}}\left[5x-6-4\times \left(x+3\right)\right]=0
    (8−x)[5x−6−4×(x+3)]=0\left(8-x\right)\left[5x-6-4\times \left(x+3\right)\right]=0
    (8−x)[5x−6−(4×x+4×3)]=0\left(8-x\right)\left[5x-6-\left(4\times x+4\times 3\right)\right]=0
    (8−x)[5x−6−(4x+12)]=0\left(8-x\right)\left[5x-6-\left(4x+12\right)\right]=0
    (8−x)[5x−6−4x−12]=0\left(8-x\right)\left[5x-6-4x-12\right]=0 Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse car nous avions le signe moins devant la parenthèse.
    Ainsi :
    (8−x)(x−18)=0\left(8-x\right)\left(x-18\right)=0
    Il s'agit d'une équation produit nul.
    On a donc : 8−x=08-x=0 ou x−18=0x-18=0
  • D'une part : résolvons 8−x=08-x=0 qui donne −x=−8-x=-8 . D'où : x=8x=8
  • D'autre part : résolvons x−18=0x-18=0 . D'où : x=18x=18
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={8;18}S=\left\{8;18\right\}

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