Forme canonique et variation - Exercice 3

10 min
15
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−2x2+8x−10f\left(x\right)=-2x^{2} +8x-10.
Question 1

Déterminer la forme canonique de la fonction polynôme du second degré ff .

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−2a=-2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=8b=8
  • c=c= nombre seul d'où c=−10c=-10
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−82×(−2)\alpha =\frac{-8}{2\times\left(-2\right)} d'où :
α=2\alpha =2

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(2)\beta =f\left(2 \right)
β=−2×22+8×2−10\beta =-2\times2^{2} +8\times 2-10
β=−8+16−10\beta =-8+16-10
β=−2\beta =-2

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est
f(x)=−2(x−2)2−2f\left(x\right)=-2\left(x-2\right)^{2} -2
.
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
f(x)=−2x2+8x−10f\left(x\right)=-2x^{2} +8x-10 équivaut successivement à :
f(x)=−2×(x2−4x+5)f\left(x\right)=-2\times \left(x^{2} -4x+5\right)
f(x)=−2×[(x−4×12)2−(4×12)2+5]f\left(x\right)=-2\times \left[\left(x-4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2} +5\right]
f(x)=−2×[(x−2)2−(2)2+5]f\left(x\right)=-2\times \left[\left(x-2\right)^{2} -\left(2\right)^{2} +5\right]
f(x)=−2×[(x−2)2−4+5]f\left(x\right)=-2\times \left[\left(x-2\right)^{2} -4+5\right]
f(x)=−2×[(x−2)2+1]f\left(x\right)=-2\times \left[\left(x-2\right)^{2} +1\right]
On va développer f(x)f\left(x\right), ce qui nous donne :
f(x)=−2(x−2)2−2f\left(x\right)=-2\left(x-2\right)^{2} -2
.
Question 2

En déduire le tableau de variation de ff.
Justifier.

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
Si a>0\red{a>0} alors le tableau de variation de ff est :
Si a<0\red{a<0} alors le tableau de variation de ff est :
A l'aide de la forme canonique, on détermine facilement le sommet de la parabole.
Or : f(x)=−2(x−2)2−2f\left(x\right)=-2\left(x-2\right)^{2} -2.
On note S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) le sommet de la parabole.
Ici, nous avons a=−2a=-2, α=2\alpha=2 et β=−2\beta=-2.
a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et S(2;−2)S\left(2;-2\right) est le sommet de la parabole (plus précisément un maximum).
Le tableau de variation est alors :

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.