Exercices types : mise en situation sous forme de problèmes $$\red{\text{(sans discriminant)}}$$ - Exercice 3

Au début du lancer, le ballon n'a pas encore parcouru de distance. On a donc $$x=0$$
Il nous faut donc calculer l'image de $$0$$ par $$f$$.
$$f\left(0\right)=-0,4\times 0^{2} +2,2\times0+1,2$$
Ainsi :
Au début du lancer, le ballon se trouve à $$1,2$$ m du sol.

Soit $$f\left(x\right)=-0,4x^{2} +2,2x+1,2$$
Pour déterminer la hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancer, il faut donner la forme canonique de $$f$$ puis ensuite dresser le tableau de variation de $$f$$.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-0,4$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=2,2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=1,2$$

2^ème étape : Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-2,2}{2\times\left(-0,4\right)}$$ d'où :
3^ème étape : Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(\frac{11}{4} \right)$$
$$\beta =-0,4\times \left(\frac{11}{4} \right)^{2} +2,2\times \left(\frac{11}{4} \right)+1,2$$
D'où :
4^ème étape : Le tableau de variation de $$f$$.
La forme canonique de $$f$$ est alors : $$f\left(x\right)=-0,4\left(x-\frac{11}{4} \right)^{2} +\frac{169}{40}$$
Ici : $$a=-0,4<0$$. La parabole est tournée vers le bas. Le tableau de variation est alors donné ci-dessous :
La hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancer est alors de $$4,225$$ m

Pour cette question, nous allons développer l'expression $$-0,4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-6\right)$$ et vérifier que nous obtenons la forme développée de $$f$$ c'est à dire : $$f\left(x\right)=-0,4x^{2} +2,2x+1,2$$ .
Il vient que :
$$-0,4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-6\right)=-0,4\left(x^{2}-6x+\frac{1}{2}x-3\right)$$
$$-0,4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-6\right)=-0,4\left(x^{2}-\frac{12}{2}x+\frac{1}{2}x-3\right)$$
$$-0,4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-6\right)=-0,4\left(x^{2}-\frac{11}{2}x-3\right)$$
$$-0,4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-6\right)=-0,4\times\left(x^{2}\right)-0,4\times\left(-\frac{11}{2}x\right)-0,4\times\left(-3\right)$$
$$-0,4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-6\right)=-0,4x^{2} +2,2x+1,2$$
Soit :

Lorsque le ballon touche le sol cela signifie que la hauteur est nulle.
Il faut alors chercher les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=0$$
Il faudra utiliser la forme factorisée de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=-0,4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-6\right)$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-0,4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-6\right)=0$$ . $$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}$$ $$\;\;$$ Comme $$-4<0$$, on a :
$$x+\frac{1}{2}=0$$ ou $$x-6=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x+\frac{1}{2}=0$$ qui donne $$x=-\frac{1}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$x-6=0$$ qui donne $$x=6$$

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ sont alors :
Nous ne pouvons pas retenir $$x=-\frac{1}{2}$$ car une distance ne peut pas être négative.
Le ballon touche le sol lorsque $$x=6$$ . Le lancer du ballon se fait lorsque $$x=0$$ .
Le ballon aura donc parcourie $$6$$ mètres entre le lancer initial et la première fois qu'il touche le sol.