Exercices types : Comment bien choisir la forme adaptée d'une fonction polynôme du second degré $$\red{\text{(sans discriminant)}}$$ - Exercice 3

$$f\left(x\right)=\left(2x-4\right)^{2} -\left(x+3\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=(2x)^{2} -2\times 2x\times 4+4^{2} -(x^{2} +2\times x\times 3+3^{2} )$$
$$f\left(x\right)=4x^{2} -16x+16-(x^{2} +6x+9)$$
$$f\left(x\right)=4x^{2} -16x+16-x^{2} -6x-9$$
Ainsi : Nous savons que $$f(x)=3x^{2} -22x+7$$ . Nous avons $$a=3\ne 0$$ ; $$b=-22$$ et $$c=7$$ .
Il en résulte donc que $$f$$ est une fonction polynôme du second degré.
La forme $$f\left(x\right)=3x^{2} -22x+7$$ est$$\red{\text{ appelée la forme développée de}}$$ $$\red{f}$$ .

$$f\left(x\right)=\left(2x-4\right)^{2}-\left(x+3\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}2x-4}\right)^{2}-\left({\color{red}x+3}\right)^{2}$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}2x-4}$$ et $$b={\color{red}x+3}$$. Il vient alors que :
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}\left(2x-4\right)}-{\color{red}\left(x+3\right)}\right)\left({\color{blue}2x-4}+{\color{red}x+3}\right)$$
$$f\left(x\right)=\left(2x-4-x-3\right)\left(2x-4+x+3\right)$$ $$\;\;$$ $$\pink{\text{Ne pas oublier de changer les signes dans la première parenthèse.}}$$
Ainsi :

Soit $$f\left(x\right)=3x^{2} -22x+7$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-22$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=7$$

2^ème étape : Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-\left(-22\right)}{2\times3}$$ d'où :
3^ème étape : Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(\frac{11}{3} \right)$$
$$\beta =2\times\left(\frac{11}{3} \right)^{2} -2\times\left(\frac{11}{3} \right)+7$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la forme canonique est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne :

Il nous faut donc calculer $$f\left(\frac{1}{3}\right)$$
Nous allons utiliser la forme factorisée $$f\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$. Ainsi :
$$f\left(\frac{1}{3} \right)=\left(\frac{1}{3} -7\right)\left(3\times \frac{1}{3} -1\right)$$
$$f\left(\frac{1}{3} \right)=\left(\frac{1}{3} -7\right)\left(\frac{3}{3} -1\right)$$
$$f\left(\frac{1}{3} \right)=\left(\frac{1}{3} -7\right)\left(1-1\right)$$
$$f\left(\frac{1}{3} \right)=\left(\frac{1}{3} -7\right)\times 0$$
D'où :

Il nous faut résoudre, dans $$\mathbb{R}$$, l'équation $$f\left(x\right)=0$$
Il faudra utiliser la forme factorisée de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(3x-1\right)=0$$ . $$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}$$
$$x-7=0$$ ou $$3x-1=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x-7=0$$ qui donne $$x=7$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$3x-1=0$$ qui donne $$3x=1$$ et enfin $$x=\frac{1}{3}$$

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ sont alors :

Il nous faut résoudre, dans $$\mathbb{R}$$, l'équation $$f\left(x\right)>0$$
Il faudra utiliser la forme factorisée de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$. Nous avons donc besoin du tableau de signe de la fonction $$f$$ .

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x-7=0\Leftrightarrow x=7$$
Soit $$x\mapsto x-7$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-7$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=7$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$3x-1=0\Leftrightarrow 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$$
Soit $$x\mapsto 3x-1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\frac{1}{3}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :Les solution de l'inéquation : $$f\left(x\right)<0$$ sont alors :

Pour résoudre l'inéquation $$f\left(x\right)>-\pink{\frac{100}{3}}$$ nous allons utiliser la forme canonique $$f\left(x\right)=3\left(x-\frac{11}{3} \right)^{2} -\pink{\frac{100}{3}}$$
Il vient alors :
$$f\left(x\right)>-\frac{100}{3}$$ équivaut successivement à :
$$3\left(x-\frac{11}{3} \right)^{2} -\frac{100}{3}>-\frac{100}{3}$$
$$3\left(x-\frac{11}{3} \right)^{2} >-\frac{100}{3}+\frac{100}{3}$$
$$3\left(x-\frac{11}{3} \right)^{2} >0$$
Lorsque $$x=\frac{11}{3}$$ l'expression $$\left(x-\frac{11}{3} \right)^{2}=0$$.
Par définition, un carré est positif ou nul. Cela signifie que si $$x\ne \frac{11}{3}$$ alors l'expression $$\left(x-\frac{11}{3} \right)^{2}$$ sera strictement positive. Ainsi , si $$x\ne \frac{11}{3}$$ alors $$3\left(x-\frac{11}{3} \right)^{2} >0$$
Autrement dit, $$f\left(x\right)>-\frac{100}{3}$$ pour tous les réels sauf pour $$x=\frac{11}{3}$$
Il en résulte donc que l'ensemble des solutions de l'inéquation $$f\left(x\right)>-\frac{100}{3}$$ est :

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=\red{7}$$ nous allons utiliser la forme développée $$f\left(x\right)=3x^{2} -22x+\red{7}$$ .
Il vient alors :
$$f\left(x\right)=7$$ équivaut successivement à :
$$3x^{2} -22x+7=7$$
$$3x^{2} -22x=7-7$$
$$3x^{2} -22x=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}x}$$.
$$3\times{\color{blue}x}\times x-22\times {\color{blue}x}=0$$ . On factorise maintenant par $${\color{blue}x}$$ .
$${\color{blue}x}\left(3x-22\right)=0$$ . $$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}$$
$$x=0$$ ou $$3x-22=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$3x-22=0$$ qui donne $$3x=22$$ et enfin $$x=\frac{22}{3}$$.

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=7$$ sont alors :