Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Attention, ici ce n'est pas une équation produit nul.
$$\left(x+3\right)\left(3x-5\right)=-15$$
$$3x^{2} -5x+9x-15=-15$$
$$3x^{2} +4x-15=-15$$
$$3x^{2} +4x=-15+15$$
$$3x^{2} +4x=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}x}$$.
$$3\times{\color{blue}x}\times x+4\times {\color{blue}x}=0$$ . On factorise maintenant par $${\color{blue}x}$$ .
$${\color{blue}x}\left(3x+4\right)=0$$ .
$$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
$$x=0$$ ou $$3x+4=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$3x+4=0$$ qui donne $$3x=-4$$. D'où : $$x=-\frac{4}{3}$$

Les solutions de l'équation $$\left(x+3\right)\left(3x-5\right)=-15$$ sont alors :

Pour résoudre cette équation, nous allons commencer par factoriser $$9x^{2} -4$$ .
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$9x^{2} -4=\left({\color{blue}3x}\right)^{2} -{\color{red}2}^{2}$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}3x}$$ et $$b={\color{red}2}$$. Il vient alors que :
$$9x^{2} -4=\left({\color{blue}3x}-{\color{red}2}\right)\left({\color{blue}3x}+{\color{red}2}\right)$$
Il en résulte donc que :
$$9x^{2} -4=\left(3x-2\right)\left(7x+8\right)$$ équivaut successivement à :
$$\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)=\left(3x-2\right)\left(7x+8\right)$$
$$\left({\color{blue}3x-2}\right)\left(3x+2\right)-\left({\color{blue}3x-2}\right)\left(7x+8\right)=0$$
$$\left({\color{blue}3x-2}\right)\left(3x+2-\left(7x+8\right)\right)=0$$
$$\left(3x-2\right)\left(3x+2-7x-8\right)=0$$
$$\left(3x-2\right)\left(-4x-6\right)=0$$
$$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
$$3x-2=0$$ ou $$-4x-6=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$3x-2=0$$ qui donne $$3x=2$$. D'où : $$x=\frac{2}{3}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$-4x-6=0$$ qui donne $$-4x=6$$. D'où : $$x=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$$

Les solutions de l'équation $$9x^{2} -4=\left(3x-2\right)\left(7x+8\right)$$ sont alors :

$$3^{2} -4^{2} \times \left(x-5\right)^{2} =0$$ équivaut successivement à :
$$3^{2} -\left(4\times \left(x-5\right)\right)^{2} =0$$
$$3^{2} -\left(4x-20\right)^{2} =0$$
$${\color{blue}3}^{2} -\left({\color{red}4x-20}\right)^{2} =0$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{blue}3}-\left({\color{red}4x-20}\right)\right)\left({\color{blue}3}+{\color{red}4x-20}\right)=0$$
$$\left(3-4x+20\right)\left(3+4x-20\right)=0$$
$$\left(-4x+23\right)\left(4x-17\right)=0$$
$$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
$$-4x+23=0$$ ou $$4x-17=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$-4x+23=0$$ qui donne $$-4x=-23$$. D'où : $$x=\frac{-23}{-4}=\frac{23}{4}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$4x-17=0$$ qui donne $$4x=17$$. D'où : $$x=\frac{17}{4}$$

Les solutions de l'équation $$9-16\left(x-5\right)^{2} =0$$ sont alors :

$$7+9\left(2x-6\right)^{2} =0$$ équivaut successivement à :
$$9\left(2x-6\right)^{2} =-7$$
$$\left(2x-6\right)^{2} =-\frac{7}{9}$$
Or un carré est positif ou nul, donc $$\left(2x-6\right)^{2}$$ ne peut pas être égale à $$-\frac{7}{9}$$.
Il n'y a donc pas de solutions réelles à l'équation $$7+9\left(2x-6\right)^{2} =0$$ .
On note :