Déterminer la forme factorisée d'un polynôme du second degré à l'aide de sa représentation graphique - Exercice 2

6 min
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On donne ci-dessous la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} d'une fonction polynôme du second degré.
Question 1

Déterminer l'expression de la forme factorisée de ff .

Correction
Forme factorisée
  • Une fonction ff polynôme du second degré admettant deux racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , alors la factorisation de ff est de la forme a(x−x1)(x−x2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right).
ff a pour racine x1=−4x_1=-4 et x2=2x_2=2 donc sa forme factorisée est alors : f(x)=a(x−(−4))(x−2)f\left(x\right)=a\left(x-\left(-4\right)\right)\left(x-2\right) ou encore f(x)=a(x+4)(x−2)f\left(x\right)=a\left(x+4\right)\left(x-2\right).
Il reste maintenant à déterminer la valeur de aa . Pour cela, le point A(−2;4)A\left(-2;4\right) appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par f(−2)=4f\left(-2\right)=4 .
f(−2)=4f\left(-2\right)=4 équivaut successivement à :
a(−2+4)(−2−2)=4a\left(-2+4\right)\left(-2-2\right)=4
a×2×(−4)=4a\times 2\times \left(-4\right)=4
−8a=4-8a=4
a=4−8a=\frac{4}{-8}
Finalement : a=−12a=-\frac{1}{2}
L'expression de ff est alors :
f(x)=−12(x+4)(x−2)f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x+4\right)\left(x-2\right)

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