Déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré à l'aide de sa représentation graphique - Exercice 3

D'après le graphique, nous pouvons lire les valeurs de $$\alpha$$ et $$\beta$$ qui correspondent respectivement à l'abscisse et à l'ordonnée du sommet de la parabole.
Il vient alors que : $$\alpha=-4$$ et $$\beta=2$$
D'après notre rappel, la forme canonique de $$f$$ s'écrit : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$
Ce qui nous donne alors :
$$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-4\right)\right)^{2} +2$$
$$f\left(x\right)=a\left(x+4\right)^{2} +2$$
Il reste maintenant à déterminer la valeur de $$a$$ . Pour cela, le point $$A\left(-2;6\right)$$ appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par $$f\left(-2\right)=6$$
Il nous suffit alors de remplacer tous les $$x$$ par $$-2$$ dans l'expression de $$f$$ afin d'obtenir la valeur de $$a$$ .
Ainsi :
$$f\left(-2\right)=6$$ équivaut successivement à :
$$a\left(-2+4\right)^{2} +2=6$$
$$a\times2^{2} +2=6$$
$$4a +2=6$$
$$4a =6-2$$
$$4a =4$$
Soit : $$a =\frac{4}{4}=1$$
Finalement , l'expression de la forme canonique de $$f$$ est : que l'on écrit $$f\left(x\right)=\left(x+4\right)^{2} +2$$