Déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré à l'aide de sa représentation graphique - Exercice 1

D'après le graphique, nous pouvons lire les valeurs de $$\alpha$$ et $$\beta$$ qui correspondent respectivement à l'abscisse et à l'ordonnée du sommet de la parabole.
Il vient alors que : $$\alpha=5$$ et $$\beta=3$$
D'après notre rappel, la forme canonique de $$f$$ s'écrit : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$
Ce qui nous donne alors :
$$f\left(x\right)=a\left(x-5\right)^{2} +3$$
Il reste maintenant à déterminer la valeur de $$a$$ . Pour cela, le point $$A\left(3;2\right)$$ appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par $$f\left(3\right)=2$$
Il nous suffit alors de remplacer tous les $$x$$ par $$3$$ dans l'expression de $$f$$ afin d'obtenir la valeur de $$a$$ .
Ainsi :
$$f\left(3\right)=2$$ équivaut successivement à :
$$a\left(3-5\right)^{2} +3=2$$
$$a\times\left(-2\right)^{2} +3=2$$
$$4a +3=2$$
$$4a =2-3$$
$$4a =-1$$
Soit : $$a =\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$$
Finalement , l'expression de la forme canonique de $$f$$ est :