Exercices types : 3e partie : des calculs plus difficiles - Exercice 1

15 min
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Écrire chaque nombre sous la forme d'un entier ou d'une fraction irréductible. Dans la question 2, nn désigne un entier naturel.
Question 1

A=123×152182×103A=\dfrac{12^{3}\times 15^{2}}{18^{2}\times 10^{3}}

Correction
    Soit xx et yy deux réels non nuls, nn et mm deux entiers relatifs.
  • xn×xm=xn+mx^{n}\times x^{m}=x^{n+m}
  • xnxm=xn−m\dfrac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}
  • (xn)m=xn×m\left(x^{n}\right)^{m}=x^{n\times m}
  • (xy)n=xn×yn\left(xy\right)^{n}=x^{n}\times y^{n}
On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers : 12=22×312=2^{2}\times 3 ; 15=3×515=3\times 5 ; 18=2×3218=2\times 3^{2} ; 10=2×510=2\times 5.
A=(22×3)3×(3×5)2(2×32)2×(2×5)3A=\dfrac{\left(2^{2}\times 3\right)^{3}\times\left(3\times 5\right)^{2}}{\left(2\times 3^{2}\right)^{2}\times\left(2\times 5\right)^{3}} équivaut successivement à :
A=26×33×32×5222×34×23×53A=\dfrac{2^{6}\times 3^{3}\times 3^{2}\times 5^{2}}{2^{2}\times 3^{4}\times 2^{3}\times 5^{3}}
A=26×35×5225×34×53A=\dfrac{2^{6}\times 3^{5}\times 5^{2}}{2^{5}\times 3^{4}\times 5^{3}}
A=26−5×35−4×52−3A=2^{6-5}\times 3^{5-4}\times 5^{2-3}
A=2×3×5−1A=2\times 3\times 5^{-1}
A=65A=\dfrac{6}{5}
Question 2

B=2n+3−2n+12n+2+2nB=\dfrac{2^{n+3}-2^{n+1}}{2^{n+2}+2^{n}}

Correction
    Soit xx et yy deux réels non nuls, nn et mm deux entiers relatifs.
  • xn×xm=xn+mx^{n}\times x^{m}=x^{n+m}
  • xnxm=xn−m\dfrac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}
  • (xn)m=xn×m\left(x^{n}\right)^{m}=x^{n\times m}
  • (xy)n=xn×yn\left(xy\right)^{n}=x^{n}\times y^{n}
On factorise le numérateur et le dénominateur par 2n2^{n} : 2n+3=2n×23=8×2n2^{n+3}=2^{n}\times 2^{3}=8\times 2^{n} ; 2n+1=2×2n2^{n+1}=2\times 2^{n} ; 2n+2=4×2n2^{n+2}=4\times 2^{n}.
B=8×2n−2×2n4×2n+1×2nB=\dfrac{8\times 2^{n}-2\times 2^{n}}{4\times 2^{n}+1\times 2^{n}} équivaut successivement à :
B=2n×(8−2)2n×(4+1)B=\dfrac{2^{n}\times\left(8-2\right)}{2^{n}\times\left(4+1\right)}
B=2n×62n×5B=\dfrac{\cancel{2^{n}}\times 6}{\cancel{2^{n}}\times 5}
B=65B=\dfrac{6}{5}

Le résultat ne dépend pas de nn.
Question 3

C=(−2)5×3−26−3×42C=\dfrac{\left(-2\right)^{5}\times 3^{-2}}{6^{-3}\times 4^{2}}

Correction
    Soit xx et yy deux réels non nuls, nn et mm deux entiers relatifs.
  • xn×xm=xn+mx^{n}\times x^{m}=x^{n+m}
  • xnxm=xn−m\dfrac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}
  • (xn)m=xn×m\left(x^{n}\right)^{m}=x^{n\times m}
  • (xy)n=xn×yn\left(xy\right)^{n}=x^{n}\times y^{n}
(−2)5=−25\left(-2\right)^{5}=-2^{5} car l'exposant 55 est impair ; 6−3=(2×3)−3=2−3×3−36^{-3}=\left(2\times 3\right)^{-3}=2^{-3}\times 3^{-3} ; 42=(22)2=244^{2}=\left(2^{2}\right)^{2}=2^{4}.
C=−25×3−22−3×3−3×24C=\dfrac{-2^{5}\times 3^{-2}}{2^{-3}\times 3^{-3}\times 2^{4}} équivaut successivement à :
C=−25×3−221×3−3C=-\dfrac{2^{5}\times 3^{-2}}{2^{1}\times 3^{-3}}
C=−25−1×3−2−(−3)C=-2^{5-1}\times 3^{-2-\left(-3\right)}
C=−24×31C=-2^{4}\times 3^{1}
C=−48C=-48

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