Calculer avec des écritures fractionnaires contenant des lettres - Exercice 1

10 min
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Dans chaque cas, xx désigne un réel pour lequel l'expression existe. Écrire chaque expression sous la forme d'une seule fraction.
Question 1

A=2x+3x+1A=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+1}

Correction
    Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur :
  • ab+cd=a×db×d+c×bd×b=ad+bcbd\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times d}{b\times d}+\dfrac{c\times b}{d\times b}=\dfrac{ad+bc}{bd} avec b≠0b\neq 0 et d≠0d\neq 0
Le dénominateur commun est x(x+1)x\left(x+1\right).
A=2x+3x+1A=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+1} équivaut successivement à :
A=2×(x+1)x×(x+1)+3×x(x+1)×xA=\dfrac{2\times\left(x+1\right)}{x\times\left(x+1\right)}+\dfrac{3\times x}{\left(x+1\right)\times x}
A=2x+2+3xx(x+1)A=\dfrac{2x+2+3x}{x\left(x+1\right)}
A=5x+2x(x+1)A=\dfrac{5x+2}{x\left(x+1\right)}

Cette écriture est valable pour x≠0x\neq 0 et x≠−1x\neq -1.
Question 2

B=1x−2−1x+2B=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}

Correction
    Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur :
  • ab+cd=a×db×d+c×bd×b=ad+bcbd\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times d}{b\times d}+\dfrac{c\times b}{d\times b}=\dfrac{ad+bc}{bd} avec b≠0b\neq 0 et d≠0d\neq 0
Le dénominateur commun est (x−2)(x+2)\left(x-2\right)\left(x+2\right).
B=1x−2−1x+2B=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x+2} équivaut successivement à :
B=1×(x+2)(x−2)(x+2)−1×(x−2)(x+2)(x−2)B=\dfrac{1\times\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{1\times\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}
B=x+2−(x−2)(x−2)(x+2)B=\dfrac{x+2-\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}
B=x+2−x+2(x−2)(x+2)B=\dfrac{x+2-x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}
B=4(x−2)(x+2)B=\dfrac{4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}
B=4x2−4B=\dfrac{4}{x^{2}-4}

Attention aux parenthèses : on soustrait tout le numérateur x−2x-2. On a aussi utilisé (x−2)(x+2)=x2−22=x2−4\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x^{2}-2^{2}=x^{2}-4.
Question 3

C=x3−x−16C=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x-1}{6}

Correction
    Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur :
  • ab+cd=a×db×d+c×bd×b=ad+bcbd\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times d}{b\times d}+\dfrac{c\times b}{d\times b}=\dfrac{ad+bc}{bd} avec b≠0b\neq 0 et d≠0d\neq 0
Le dénominateur commun est 66.
C=x3−x−16C=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x-1}{6} équivaut successivement à :
C=2x6−x−16C=\dfrac{2x}{6}-\dfrac{x-1}{6}
C=2x−(x−1)6C=\dfrac{2x-\left(x-1\right)}{6}
C=2x−x+16C=\dfrac{2x-x+1}{6}
C=x+16C=\dfrac{x+1}{6}
Question 4

D=1−3x+3D=1-\dfrac{3}{x+3}

Correction
    Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur :
  • ab+cd=a×db×d+c×bd×b=ad+bcbd\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times d}{b\times d}+\dfrac{c\times b}{d\times b}=\dfrac{ad+bc}{bd} avec b≠0b\neq 0 et d≠0d\neq 0
On écrit 11 avec le dénominateur x+3x+3 : 1=x+3x+31=\dfrac{x+3}{x+3}.
D=1−3x+3D=1-\dfrac{3}{x+3} équivaut successivement à :
D=x+3x+3−3x+3D=\dfrac{x+3}{x+3}-\dfrac{3}{x+3}
D=x+3−3x+3D=\dfrac{x+3-3}{x+3}
D=xx+3D=\dfrac{x}{x+3}

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