Factorisation avec les facteurs communs - Exercice 6

On rappelle que : $$\left(x-9\right)^{2}=\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$.
Il vient alors que :
$$A=\left(x-3\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(7x+8\right)$$ équivaut successivement à :
$$A=\left(x+3\right){\color{blue}{\left(x-3\right)}}-{\color{blue}{\left(x-3\right)}}\left(7x+8\right)$$ . Le facteur commun ici est $${\color{blue}{x-3}}$$.
$$A={\color{blue}{\left(x-3\right)}}\left(x+3-\left(7x+8\right)\right)$$
$$A=\left(x-3\right)\left(x+3-7x-8\right)$$ Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse car nous avions le signe moins devant la parenthèse.

Soit : $$B=\left(4x-6\right)\left(7x-5\right)+\left(x-7\right)\left({\color{red}{8x-12}}\right)$$ .
A priori, il n'y a pas de facteurs communs sauf qu'il faut remarquer que $${\color{red}{8x-12}}=2\times \left(4x-6\right)$$. On remplace maintenant dans l'expression, il vient que :
$$B=\left(4x-6\right)\left(7x-5\right)+\left(x-7\right)\times {\color{red}{2\times \left(4x-6\right)}}$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}{4x-6}}$$ .
$$B={\color{blue}{\left(4x-6\right)}}\left(7x-5\right)+\left(x-7\right)\times 2\times {\color{blue}{\left(4x-6\right)}}$$
$$B={\color{blue}{\left(4x-6\right)}}\left[7x-5+\left(x-7\right)\times 2\right]$$
$$B=\left(4x-6\right)\left[7x-5+x\times 2+\left(-7\right)\times 2\right]$$
$$B=\left(4x-6\right)\left(7x-5+2x-14\right)$$

Soit : $$C=\left(6x-2\right)\left({\color{red}{4x+16}}\right)-\left(x+4\right)\left(3x-9\right)$$ .
A priori, il n'y a pas de facteurs communs sauf qu'il faut remarquer que $${\color{red}{4x+16}}=4\times \left(x+4\right)$$ . On remplace maintenant dans l'expression, il vient que :
$$C=\left(6x-2\right)\times{\color{red} 4\times \left(x+4\right)}-\left(x+4\right)\left(3x-9\right)$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}{x+4}}$$ .
$$C=\left(6x-2\right)\times 4\times {\color{blue}{\left(x+4\right)}}-{\color{blue}{\left(x+4\right)}}\left(3x-9\right)$$
$$C={\color{blue}{\left(x+4\right)}}\left[\left(6x-2\right)\times 4-\left(3x-9\right)\right]$$
$$C=\left(x+4\right)\left[6x\times 4+\left(-2\right)\times 4-\left(3x-9\right)\right]$$
$$C=\left(x+4\right)\left(24x-8-\left(3x-9\right)\right)$$
$$C=\left(x+4\right)\left(24x-8-3x+9\right)$$ Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse car nous avions le signe moins devant la parenthèse.

Le facteur commun ici est $${\color{blue}{3-7x}}$$ .
$$D=\left(4x-7\right){\color{blue}{\left(3-7x\right)}}-6{\color{blue}{\left(3-7x\right)}}\left(x+11\right)$$
$$D={\color{blue}{\left(3-7x\right)}}\left[4x-7-6\times \left(x+11\right)\right]$$
$$D=\left(3-7x\right)\left[4x-7-6\times \left(x+11\right)\right]$$
$$D=\left(3-7x\right)\left[4x-7-\left(6\times x+6\times 11\right)\right]$$
$$D=\left(3-7x\right)\left[4x-7-\left(6x+66\right)\right]$$
$$D=\left(3-7x\right)\left[4x-7-6x-66\right]$$ Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse car nous avions le signe moins devant la parenthèse.
Ainsi :