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Des factorisations épicées - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit xx un réel. Factoriser l'expression suivante : A=(4x−2)2−2(4x−2)(5x−1)+(5x−1)2A=(4x-2)^2-2(4x-2)(5x-1)+(5x-1)^2

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a2−2×a×b+b2=(a−b)2{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
A=(4x−2)2−2(4x−2)(5x−1)+(5x−1)2A=(4x-2)^2-2(4x-2)(5x-1)+(5x-1)^2
A=(4x−2)2−2(4x−2)(5x−1)+(5x−1)2A=\left({\color{blue}4x-2}\right)^{2} -2({\color{blue}4x-2})\left({\color{red}5x-1}\right)+\left({\color{red}5x-1}\right)^{2}
Ici nous avons a=4x−2a={\color{blue}4x-2} et b=5x−1b={\color{red}5x-1}. Il vient alors que :
A=((4x−2)−(5x−1))2A=\left(\left({\color{blue}4x-2}\right)-\left({\color{red}5x-1}\right)\right)^2
A=(4x−2−5x+1)2A=\left(4x-2-5x+1\right)^2
Finalement :
A=(−x−1)2A=\left(-x-1\right)^2

Question 2

Soit xx un réel. Factoriser l'expression suivante : B=(3x−1)2−25(2x+3)2B=\left(3x-1\right)^{2}-25\left(2x+3\right)^{2}

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a2−b2=(a−b)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
B=(3x−1)2−25(2x+3)2B=\left(3x-1\right)^{2}-25\left(2x+3\right)^{2} équivaut successivement à :
B=(3x−1)2−52(2x+3)2B=\left(3x-1\right)^{2}-5^2\left(2x+3\right)^{2}
  • Soit nn un entier naturel.
    an×bn=(a×b)na^n\times b^n=\left(a\times b\right)^n
B=(3x−1)2−(5×(2x+3))2B=\left(3x-1\right)^{2}-\left(5\times\left(2x+3\right)\right)^{2}
B=(3x−1)2−(10x+15)2B=\left(3x-1\right)^{2}-\left(10x+15\right)^{2}
B=(3x−1)2−(10x+15)2B=\left({\color{blue}3x-1}\right)^{2}-\left({\color{red}10x+15}\right)^{2}
Ici nous avons a=3x−1a={\color{blue}3x-1} et b=10x+15b={\color{red}10x+15}. Il vient alors que :
B=((3x−1)−(10x+15))(3x−1+10x+15)B=\left({\color{blue}\left(3x-1\right)}-{\color{red}\left(10x+15\right)}\right)\left({\color{blue}3x-1}+{\color{red}10x+15}\right)
Ne pas oublier de changer les signes dans la première parenthèse, à la prochaine étape.
B=(3x−1−10x−15)(3x−1+10x+15)B=\left(3x-1-10x-15\right)\left(3x-1+10x+15\right)     \;\;
Ainsi :
B=(−7x−16)(13x+14)B=\left(-7x-16\right)\left(13x+14\right)

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