Cours : volume du pavé droit et du cube

Le pavé droit

Définition
  • Un pavé droit (ou pavé) est un solide dont les 66 faces sont des rectangles.
  • Ses trois dimensions sont sa longueur LL, sa largeur ℓ\ell et sa hauteur hh.
  • Un cube est un pavé dont les trois dimensions sont égales : ses 66 faces sont des carrés.
En perspective :\pink{\text{En perspective :}} les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

Remplir un pavé avec des cubes

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un pavé de 4 cm4\text{ cm} de longueur, 3 cm3\text{ cm} de largeur et 2 cm2\text{ cm} de hauteur est rempli de cubes de 1 cm1\text{ cm} d'arête.

On le sépare en couches :

Une couche contient 33 rangées de 44 cubes : 3×4=123\times 4=12 cubes.
Il y a 22 couches : 2×12=242\times 12=24 cubes.
Ainsi :
le volume du pavé est 24 cm324\text{ cm}^3

Volume d'un pavé et d'un cube

Propriété
  • Le volume d'un pavé de longueur LL, de largeur ℓ\ell et de hauteur hh est :
    V=L×ℓ×h\mathcal{V}=L\times \ell\times h
  • Le volume d'un cube d'arête cc est :
    V=c×c×c\mathcal{V}=c\times c\times c
  • Les trois longueurs doivent être exprimées dans la même unité : si elles sont en cm, le volume est en cm³.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Calculer le volume d'un pavé de longueur L=5 cmL=5\text{ cm}, de largeur ℓ=2 cm\ell=2\text{ cm} et de hauteur h=3 cmh=3\text{ cm}.

V=L×ℓ×h=5 cm×2 cm×3 cm=30 cm3\mathcal{V}=L\times \ell\times h=5\text{ cm}\times 2\text{ cm}\times 3\text{ cm}=30\text{ cm}^3.
Ainsi :
le volume du pavé est 30 cm330\text{ cm}^3
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un cube a une arête de 3 cm3\text{ cm}.

V=c×c×c=3 cm×3 cm×3 cm=27 cm3\mathcal{V}=c\times c\times c=3\text{ cm}\times 3\text{ cm}\times 3\text{ cm}=27\text{ cm}^3 : ce sont bien 33 couches de 3×3=93\times 3=9 cubes, et 3×9=273\times 9=27.
Ainsi :
le volume du cube est 27 cm327\text{ cm}^3

Volume et contenance

À savoir
  • La contenance d'un récipient est le volume de liquide qu'il peut contenir ; elle s'exprime souvent en litres (L) ou en millilitres (mL).
  • 1 cm3=1 mL1\text{ cm}^3=1\text{ mL} et 1 L=1  000 mL=1  000 cm31\text{ L}=1\;000\text{ mL}=1\;000\text{ cm}^3.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un cube de 10 cm10\text{ cm} d'arête, rempli d'eau, contient 1 L1\text{ L}.

10 cm×10 cm×10 cm=1  000 cm310\text{ cm}\times 10\text{ cm}\times 10\text{ cm}=1\;000\text{ cm}^3 et 1  000 cm3=1 L1\;000\text{ cm}^3=1\text{ L}.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un aquarium a la forme d'un pavé de 30 cm30\text{ cm} sur 20 cm20\text{ cm} sur 25 cm25\text{ cm}.
V=30 cm×20 cm×25 cm=15  000 cm3\mathcal{V}=30\text{ cm}\times 20\text{ cm}\times 25\text{ cm}=15\;000\text{ cm}^3, et 15  000÷1  000=1515\;000\div 1\;000=15.
Ainsi :
l'aquarium contient 15 L15\text{ L}

Retrouver une dimension

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un pavé a un volume de 60 cm360\text{ cm}^3, une longueur de 5 cm5\text{ cm} et une largeur de 3 cm3\text{ cm}. Quelle est sa hauteur ?
Une couche de cubes de 1 cm1\text{ cm} d'arête contient 5×3=155\times 3=15 cubes. Pour avoir 6060 cubes, il faut 60÷15=460\div 15=4 couches.

Veˊrification :\blue{\text{Vérification :}} 5 cm×3 cm×4 cm=60 cm35\text{ cm}\times 3\text{ cm}\times 4\text{ cm}=60\text{ cm}^3.
Ainsi :
la hauteur du pavé est h=4 cmh=4\text{ cm}

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