Cours : volume d'un solide, le centimètre cube

Le volume d'un solide

Définition
  • Le volume d'un solide est la mesure de la place qu'il occupe dans l'espace.
  • Pour mesurer un volume, on choisit une unité de volume, par exemple un petit cube, et on compte combien de ces cubes forment le solide.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Les solides A et B sont construits avec des cubes identiques.

A est formé de 22 rangées de 33 cubes : 2×3=62\times 3=6 cubes.
B est formé de trois colonnes de 33, 22 et 11 cubes : 3+2+1=63+2+1=6 cubes.
Ainsi :
A et B ont le même volume, 66 cubes, mais pas la même forme
Propriété
  • Deux solides de formes différentes peuvent avoir le même volume.
  • Si l'on démonte un solide et qu'on construit un autre solide avec tous ses cubes, sans en ajouter ni en enlever, le volume ne change pas.

Le centimètre cube

Définition
  • Le centimètre cube, noté cm³, est le volume d'un cube de 1 cm1\text{ cm} d'arête.
  • Un solide formé de cubes de 1 cm1\text{ cm} d'arête a pour volume, en cm³, le nombre de ces cubes.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} À gauche, un cube de 1 cm1\text{ cm} d'arête : son volume est 1 cm31\text{ cm}^3. À droite, un solide formé de cubes de 1 cm1\text{ cm} d'arête.

On compte les cubes colonne par colonne, de gauche à droite : 2+1+1+3=72+1+1+3=7.
7×1 cm3=7 cm37\times 1\text{ cm}^3=7\text{ cm}^3. Ainsi :
le volume du solide est 7 cm37\text{ cm}^3
Attention :\red{\text{Attention :}} le cm mesure une longueur, le cm² une aire et le cm³ un volume.

Compter les cubes cachés

Méthode
  • On compte les cubes étage par étage, en commençant par le bas.
  • On n'oublie pas les cubes cachés : un cube ne flotte pas dans le vide, il est posé sur un autre cube ou sur la table.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Ce solide est construit avec des cubes de 1 cm1\text{ cm} d'arête. Quel est son volume ?

On sépare les étages :

Étage du bas : 22 rangées de 33 cubes, 2×3=62\times 3=6 cubes, même si l'on n'en voit que 33 de face.
Étage du milieu : 22 rangées de 22 cubes, 2×2=42\times 2=4 cubes. Étage du haut : 22 rangées de 11 cube, 2×1=22\times 1=2 cubes.
6+4+2=126+4+2=12. Ainsi :
le volume du solide est 12 cm312\text{ cm}^3
Autre meˊthode :\blue{\text{Autre méthode :}} on écrit dans chaque case de la vue de dessus le nombre de cubes empilés.

3+2+1+3+2+1=123+2+1+3+2+1=12 : on retrouve 1212 cubes, soit 12 cm312\text{ cm}^3.

Comparer des volumes

Méthode
  • Pour comparer les volumes de deux solides, on les mesure avec la même unité, puis on compare les nombres obtenus.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Les solides C et D sont construits avec des cubes de 1 cm1\text{ cm} d'arête.

C est formé de 22 étages de 2×2=42\times 2=4 cubes : 2×4=82\times 4=8 cubes, dont un cube caché (au fond, en bas à gauche), soit 8 cm38\text{ cm}^3.
D est formé de 33 colonnes de 33 cubes : 3×3=93\times 3=9 cubes, soit 9 cm39\text{ cm}^3.
9 cm3>8 cm39\text{ cm}^3\gt 8\text{ cm}^3. Ainsi :
D a un plus grand volume que C

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