Pour aller plus loin : la relation d'Euler, les patrons du cube et le cube peint - Exercice 3

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Le cube peint. On peint toutes les faces extérieures d'un grand cube formé de 3×3×33\times 3\times 3 petits cubes, puis on le démonte. Sur le dessin, la couleur indique le nombre de faces peintes : rouge pour 33, orange pour 22, jaune pour 11.
Question 1

Combien de petits cubes ont 33 faces peintes ? 22 faces ? 11 face ? aucune ?

Correction
  • 33 faces peintes : les 88 coins.
  • 22 faces : le petit cube du milieu de chacune des 1212 arêtes, soit 1212.
  • 11 face : le petit cube du centre de chacune des 66 faces, soit 66.
  • Aucune : le petit cube du centre, invisible, soit 11.
Vérification : 8+12+6+1=278+12+6+1=27 et 3×3×3=273\times 3\times 3=27.
Ainsi :
88, 1212, 66 et 11 petits cubes
Question 2

Même question avec un grand cube formé de 4×4×44\times 4\times 4 petits cubes.

Correction
  • 33 faces : toujours les 88 coins.
  • 22 faces : 22 petits cubes au milieu de chaque arête : 12×2=2412\times 2=24.
  • 11 face : un carré de 2×2=42\times 2=4 petits cubes au centre de chaque face : 6×4=246\times 4=24.
  • Aucune : le cube intérieur de 2×2×2=82\times 2\times 2=8 petits cubes.
Vérification : 8+24+24+8=648+24+24+8=64 et 4×4×4=644\times 4\times 4=64.
Ainsi :
88, 2424, 2424 et 88 petits cubes

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