Pour aller plus loin : la relation d'Euler, les patrons du cube et le cube peint - Exercice 1

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La relation d'Euler. Le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) a découvert une relation entre le nombre de faces FF, le nombre de sommets SS et le nombre d'arêtes AA des polyèdres comme ceux-ci.
Question 1

Compter FF, SS et AA pour chacun de ces polyèdres.

Correction
  • Les faces d'un polyèdre sont les polygones qui le limitent.
  • Une arête est un segment commun à deux faces.
  • Un sommet est un point commun à plusieurs arêtes.
  • Cube : F=6F=6, S=8S=8 et A=4+4+4=12A=4+4+4=12.
  • Prisme à base triangulaire : F=2+3=5F=2+3=5, S=3+3=6S=3+3=6 et A=3+3+3=9A=3+3+3=9.
  • Pyramide 1, à base carrée : F=1+4=5F=1+4=5, S=4+1=5S=4+1=5 et A=4+4=8A=4+4=8.
  • Pyramide 2, à base hexagonale : F=1+6=7F=1+6=7, S=6+1=7S=6+1=7 et A=6+6=12A=6+6=12.
Ainsi :
66, 88, 1212 ; 55, 66, 99 ; 55, 55, 88 ; 77, 77, 1212
Question 2

Calculer F+S−AF+S-A pour chacun. Que remarque-t-on ?

Correction
6+8−12=26+8-12=2 ; 5+6−9=25+6-9=2 ; 5+5−8=25+5-8=2 ; 7+7−12=27+7-12=2.
Ainsi :
on trouve toujours 22 : c'est la relation d'Euler, F+S−A=2F+S-A=2

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