Cours : reconnaître et décrire les solides usuels

Les solides usuels

Définition
  • Un solide est un objet de l'espace : il a une longueur, une largeur et une hauteur.
  • Les polyèdres sont les solides dont toutes les faces sont planes : ce sont des polygones. Le cube, le pavé droit, le prisme droit et la pyramide sont des polyèdres.
  • Le cylindre, le cône et la boule ont une surface courbe : ce ne sont pas des polyèdres.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Les sept solides usuels.

Les quatre solides de la première ligne n'ont que des faces planes ; les trois solides de la deuxième ligne peuvent rouler, car ils ont une surface courbe.
Ainsi :
on reconnaît un solide à la forme et au nombre de ses faces

Faces, arêtes et sommets

Définition
  • Les faces d'un polyèdre sont les polygones qui le limitent.
  • Une arête est un segment commun à deux faces.
  • Un sommet est un point commun à plusieurs arêtes.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Le pavé droit ABCDEFGHABCDEFGH. La face ABFEABFE est en orange, l'arête [FG][FG] en rouge et le sommet HH en violet.

  • Faces : ABCDABCD (dessous), EFGHEFGH (dessus), ABFEABFE, BCGFBCGF, CDHGCDHG et DAEHDAEH, soit 66 faces.
  • Arêtes : 44 en bas, 44 en haut et 44 verticales : 4+4+4=124+4+4=12.
  • Sommets : AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG et HH, soit 88 sommets.

Ainsi :
un pavé droit a 66 faces, 1212 arêtes et 88 sommets

Cube, pavé droit, prisme droit et pyramide

Définitions
  • Un pavé droit a 66 faces rectangulaires. Un cube est un pavé droit dont les 66 faces sont des carrés : toutes ses arêtes ont la même longueur.
  • Un prisme droit a deux faces superposables et parallèles, ses bases (des polygones). Ses autres faces, les faces latérales, sont des rectangles.
  • Une pyramide a une base (un polygone). Ses faces latérales sont des triangles qui ont un sommet commun : le sommet de la pyramide.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un prisme droit à base triangulaire et une pyramide à base carrée ; les bases sont en orange.

  • Le prisme a 22 bases triangulaires et 33 faces latérales : 2+3=52+3=5 faces. Il a 3+3+3=93+3+3=9 arêtes (33 sur chaque base et 33 arêtes latérales) et 3+3=63+3=6 sommets.
  • La pyramide a 11 base carrée et 44 faces latérales : 1+4=51+4=5 faces. Elle a 4+4=84+4=8 arêtes (44 sur la base et 44 qui partent du sommet) et 4+1=54+1=5 sommets.

Ainsi :
deux solides peuvent avoir le même nombre de faces sans être de la même famille
Remarque :\red{\text{Remarque :}} un pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles ; un cube est un pavé droit particulier.

Cylindre, cône et boule

Définitions
  • Un cylindre a deux bases qui sont des disques superposables, reliées par une surface latérale courbe.
  • Un cône a une base qui est un disque et un sommet, reliés par une surface latérale courbe.
  • Une boule est formée de tous les points dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon. Sa surface s'appelle la sphère : elle n'a ni face plane, ni arête, ni sommet.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Les trois solides à surface courbe.

Une boîte de conserve a la forme d'un cylindre, un cornet de glace celle d'un cône et une balle celle d'une boule.
Ainsi :
le cylindre a deux bases, le cône une seule, la boule aucune

Représenter un solide en perspective cavalière

Méthode
  • La face avant est dessinée en vraie grandeur, sans déformation.
  • Les arêtes qui partent vers l'arrière, les fuyantes, sont tracées en oblique, parallèles entre elles et plus courtes qu'en réalité (souvent la moitié de leur longueur).
  • Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.
  • Des arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Tracer un pavé droit en trois étapes.

  • On trace la face avant, un rectangle en vraie grandeur.
  • On trace les fuyantes qui partent des sommets visibles : elles sont parallèles et de même longueur.
  • On trace la face arrière ; les 33 arêtes qui partent du sommet caché, en bas à gauche et à l'arrière, sont en pointillés.

Ainsi :
sur le dessin d'un pavé droit, 33 arêtes sont en pointillés

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