Cours : résoudre un problème de proportionnalité

Multiplier ou diviser les deux grandeurs par le même nombre

Propriété
  • Dans une situation de proportionnalité, si on multiplie (ou divise) une grandeur par un nombre, l'autre grandeur est multipliée (ou divisée) par le même nombre.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} 33 cahiers coûtent 4,504{,}50 €. Combien coûtent 99 cahiers ?

On achète 9=3×39=3\times 3 cahiers, donc 33 fois plus de cahiers : on paie 33 fois plus. 4,50×3=13,504{,}50\times 3=13{,}50.
Ainsi :
99 cahiers coûtent 13,5013{,}50 €

Additionner deux colonnes

Propriété
  • On peut aussi additionner : la valeur pour 2+32+3 objets est la somme des valeurs pour 22 objets et pour 33 objets.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} 22 baguettes coûtent 2,202{,}20 € et 33 baguettes coûtent 3,303{,}30 €. Combien coûtent 55 baguettes ?

5=2+35=2+3, donc le prix de 55 baguettes est la somme des deux prix : 2,20+3,30=5,502{,}20+3{,}30=5{,}50.
Ainsi :
55 baguettes coûtent 5,505{,}50 €

Passer par l'unité

Méthode
  • On calcule d'abord la valeur pour une unité (un kilo, un objet, une minute…), en divisant.
  • Puis on multiplie cette valeur par la quantité demandée.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} 44 kg de cerises coûtent 1818 €. Combien coûtent 77 kg ?

  • Prix d'un kilo : 18÷4=4,5018\div 4=4{,}50 €.
  • Prix de 77 kg : 4,50×7=31,504{,}50\times 7=31{,}50 €.

Ainsi :
77 kg de cerises coûtent 31,5031{,}50 €

Les échelles

Définition
  • Sur un plan ou une carte à l'échelle, les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs mesurées sur le plan.
  • « 11 cm sur le plan représente 22 m en réalité » : on multiplie les longueurs du plan, en cm, par 22 pour obtenir les longueurs réelles en m.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Voici le plan d'un jardin. Quelles sont ses dimensions réelles ?

  • Longueur sur le plan : 66 cm ; longueur réelle : 6×2=126\times 2=12 m.
  • Largeur sur le plan : 44 cm ; largeur réelle : 4×2=84\times 2=8 m.

Ainsi :
le jardin mesure 1212 m sur 88 m

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