Cours : écrire, repérer et comparer les nombres entiers et décimaux

Les nombres entiers

Chiffres, rangs et classes

Définition
  • Pour écrire les nombres, on utilise dix chiffres : 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 et 99.
  • La valeur d'un chiffre dépend de sa place dans l'écriture du nombre : c'est son rang (unités, dizaines, centaines…).
  • On regroupe les chiffres par classes de trois, en partant de la droite : la classe des unités, des mille, des millions, puis des milliards. On laisse un espace entre deux classes.
  • 11 milliard =1  000=1\;000 millions =1  000  000  000=1\;000\;000\;000.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} On place le nombre 7  052  308  1947\;052\;308\;194 dans le tableau de numération :

  • le chiffre des milliards est 7{\color{red}{7}} ;
  • le chiffre des millions est 2{\color{blue}{2}} ;
  • le chiffre des centaines de mille est 3{\color{green}{3}}.

Lire et écrire un grand nombre en lettres

Méthode
  • On lit le nombre classe par classe, en partant de la gauche, et on dit le nom de la classe après chaque groupe de trois chiffres (sauf pour la classe des unités).
  • On relie tous les mots par des traits d'union.
  • cent et vingt (dans quatre-vingts) prennent un « s » quand ils sont multipliés et ne sont suivis d'aucun autre nombre ; mille est invariable ; million et milliard sont des noms qui prennent un « s » au pluriel.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} 7  052  308  1947\;052\;308\;194 se lit classe par classe : 7{\color{red}{7}} milliards, 52{\color{blue}{52}} millions, 308{\color{green}{308}} mille, 194194.
Il s'écrit :
sept-milliards-cinquante-deux-millions-trois-cent-huit-mille-cent-quatre-vingt-quatorze

Chiffre des… et nombre de…

Attention
  • Le chiffre des millions est le seul chiffre écrit au rang des millions.
  • Le nombre de millions est le nombre formé par tous les chiffres écrits jusqu'au rang des millions, en partant de la gauche.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Dans 7  052  308  1947\;052\;308\;194, le chiffre des millions est 22, mais le nombre de millions est
7  0527\;052
car 7  052  308  194=7  052×1  000  000+308  1947\;052\;308\;194=7\;052\times 1\;000\;000+308\;194.

Les nombres décimaux

Fractions décimales et unités de numération

Définition
  • Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1010, 100100, 1  0001\;000…
  • Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.
  • 11 unité =10=10 dixièmes =100=100 centièmes =1  000=1\;000 millièmes.
  • 110=0,1\dfrac{1}{10}=0{,}1 ; 1100=0,01\dfrac{1}{100}=0{,}01 ; 11  000=0,001\dfrac{1}{1\;000}=0{,}001.

Les différentes écritures d'un nombre décimal

Propriété
  • Un nombre décimal s'écrit avec une partie entière (avant la virgule) et une partie décimale (après la virgule).
  • Un même nombre décimal peut s'écrire avec une virgule, avec une fraction décimale, comme un nombre mixte (partie entière + fraction plus petite que 11) ou avec une décomposition.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} On place 4,1074{,}107 dans le tableau de numération :

4,1074{,}107 c'est 44 unités, 11 dixième, 00 centième et 77 millièmes. Ainsi :
4,107=4  1071  000=4+1071  000=4+110+71  0004{,}107=\dfrac{4\;107}{1\;000}=4+\dfrac{107}{1\;000}=4+\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{1\;000}

Remarque :\blue{\text{Remarque :}} les zéros placés à la fin de la partie décimale ne changent pas le nombre (4,50=4,54{,}50=4{,}5), mais un zéro placé au milieu compte : 4,054{,}05 et 4,54{,}5 sont deux nombres différents.

Les pourcentages

Définition
  • Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100100 : p  %=p100p\;\%=\dfrac{p}{100}.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Dans la grille ci-dessous, 3737 carreaux sur 100100 sont coloriés :

On a colorié
37  %=37100=0,3737\;\%=\dfrac{37}{100}=0{,}37
de la grille.
Quelques pourcentages à connaître : 50  %=50100=0,550\;\%=\dfrac{50}{100}=0{,}5 (la moitié), 25  %=25100=0,2525\;\%=\dfrac{25}{100}=0{,}25 (le quart) et 10  %=10100=0,110\;\%=\dfrac{10}{100}=0{,}1 (le dixième).

Repérer un nombre sur une demi-droite graduée

Définition
  • Sur une demi-droite graduée, les graduations sont régulières : deux graduations voisines sont séparées par le même écart, appelé le pas.
  • Chaque point de la demi-droite est repéré par un nombre appelé son abscisse.
  • Pour trouver le pas : pas == (différence de deux nombres connus) ÷\div (nombre d'intervalles entre eux).
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Lire les abscisses des points AA et BB.

Entre 22 et 33, il y a 1010 intervalles. Le pas est donc : (3−2)÷10=0,1\left(3-2\right)\div 10=0{,}1.
Le point AA est placé 44 graduations après 22 : 2+4×0,1=2,42+4\times 0{,}1=2{,}4. Ainsi :
AA a pour abscisse 2,42{,}4

Le point BB est placé 77 graduations après 22 : 2+7×0,1=2,72+7\times 0{,}1=2{,}7. Ainsi :
BB a pour abscisse 2,72{,}7

Comparer et ranger des nombres décimaux

Méthode
  • On compare d'abord les parties entières.
  • Si elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis ceux des centièmes, puis ceux des millièmes…
  • Le symbole <\lt se lit « est inférieur à » et le symbole >\gt se lit « est supérieur à ».
  • Ranger dans l'ordre croissant, c'est ranger du plus petit au plus grand ; dans l'ordre décroissant, du plus grand au plus petit.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Comparer 12,512{,}5 et 12,4712{,}47.
Les parties entières sont égales : 1212. On compare les chiffres des dixièmes : 5>4{\color{red}{5}}\gt {\color{red}{4}}. Ainsi :
12,5>12,4712{,}5\gt 12{,}47

Attention :\blue{\text{Attention :}} on ne compare pas « 55 » et « 4747 ». En écrivant 12,5=12,5012{,}5=12{,}50, on voit que 5050 centièmes est plus grand que 4747 centièmes.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Ranger dans l'ordre croissant : 3,13{,}1 ; 3,093{,}09 ; 3,153{,}15 ; 33 ; 3,1053{,}105.
On écrit tous les nombres avec trois chiffres après la virgule : 3,1003{,}100 ; 3,0903{,}090 ; 3,1503{,}150 ; 3,0003{,}000 ; 3,1053{,}105. Ainsi :
3<3,09<3,1<3,105<3,153\lt 3{,}09\lt 3{,}1\lt 3{,}105\lt 3{,}15

Encadrer, intercaler et arrondir

Encadrer et intercaler

Définition
  • Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que lui.
  • Intercaler un nombre entre deux nombres, c'est trouver un nombre compris entre eux. Entre deux nombres décimaux différents, on peut toujours en intercaler un autre.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Encadrements de 3,473{,}47 :
  • à l'unité : 3<3,47<43\lt 3{,}47\lt 4 ;
  • au dixième : 3,4<3,47<3,53{,}4\lt 3{,}47\lt 3{,}5.

Entre 3,43{,}4 et 3,53{,}5, on peut intercaler 3,453{,}45, car 3,4<3,45<3,53{,}4\lt 3{,}45\lt 3{,}5 (on aurait pu choisir 3,413{,}41 ou 3,4523{,}452).

Arrondir

Définition et méthode
  • L'arrondi d'un nombre à l'unité (au dixième, au centième) est la valeur la plus proche de ce nombre avec 00 chiffre (un chiffre, deux chiffres) après la virgule.
  • On regarde le chiffre qui suit le rang voulu : s'il vaut 00, 11, 22, 33 ou 44, on garde le chiffre du rang voulu ; s'il vaut 55, 66, 77, 88 ou 99, on ajoute 11 au chiffre du rang voulu.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Arrondir 3,473{,}47 au dixième.
Le chiffre qui suit les dixièmes est le chiffre des centièmes : 7{\color{red}{7}}. Comme 7⩾57\geqslant 5, on ajoute 11 au chiffre des dixièmes. Sur la demi-droite, on voit que 3,473{,}47 est plus proche de 3,53{,}5 que de 3,43{,}4 :

Ainsi :
3,47≈3,53{,}47\approx 3{,}5
(arrondi au dixième). De même, l'arrondi de 3,473{,}47 à l'unité est 33, car le chiffre des dixièmes est 44.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Le nombre 13\dfrac{1}{3} n'est pas un nombre décimal : la division 1÷3=0,333…1\div 3=0{,}333\ldots ne s'arrête jamais. On peut en donner un arrondi :
13≈0,33\dfrac{1}{3}\approx 0{,}33
(arrondi au centième).

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