Cours : calculer avec les nombres décimaux

Additionner et soustraire des nombres décimaux

Méthode

On pose l'opération en alignant les virgules : les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes…
On peut compléter la partie décimale par des zéros pour que les nombres aient autant de chiffres après la virgule.

\pink{\text{Exemple :}}

Calculer

352{,}8+47{,}65

On complète

352{,}8

352{,}80

, puis on additionne colonne par colonne, sans oublier les retenues. Ainsi :

352{,}8+47{,}65=400{,}45

\pink{\text{Exemple :}}

Calculer

52{,}3-18{,}47

Ainsi :

52{,}3-18{,}47=33{,}83

\blue{\text{Vérification :}}

33{,}83+18{,}47=52{,}3

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

Propriété

Multiplier par $10$ , $100$ ou $1\;000$ , c'est déplacer chaque chiffre de $1$ , $2$ ou $3$ rangs vers la gauche.
Diviser par $10$ , $100$ ou $1\;000$ , c'est déplacer chaque chiffre de $1$ , $2$ ou $3$ rangs vers la droite.
Multiplier par $0{,}1$ , $0{,}01$ ou $0{,}001$ , c'est diviser par $10$ , $100$ ou $1\;000$ .

\pink{\text{Exemple :}}

Calculer

45{,}207\times 100

.
Chaque chiffre avance de

2

rangs vers la gauche :

Ainsi :

45{,}207\times 100=4\;520{,}7

\pink{\text{Exemples :}}

$3{,}8\times 1\;000=3\;800$ (on complète par deux zéros) ;
$52{,}4\div 10=5{,}24$ ;
$7\div 100=0{,}07$ ;
$37\times 0{,}1=37\div 10=3{,}7$ ;
$52{,}4\times 0{,}01=52{,}4\div 100=0{,}524$ .

Multiplier deux nombres décimaux

Le sens de la multiplication

Propriété

L'aire d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ est $L\times \ell$ , même quand $L$ et $\ell$ sont des nombres décimaux.

\pink{\text{Exemple :}}

Le grand carré a pour côté

1

unité : il est formé de

100

petits carreaux. Le rectangle rouge mesure

0{,}4

sur

0{,}3

Il contient

4\times 3=12

carreaux sur

100

. Ainsi :

0{,}4\times 0{,}3=0{,}12

4

dixièmes multipliés par

3

dixièmes donnent

12

centièmes. Attention :

0{,}4\times 0{,}3

ne vaut pas

1{,}2

La méthode

Méthode

On effectue la multiplication sans tenir compte des virgules.
On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
Le produit a autant de chiffres après la virgule : on place la virgule en comptant à partir de la droite.

\pink{\text{Exemple :}}

Calculer

3{,}7\times 2{,}45

Sans les virgules :

37\times 245=9\;065

. Il y a

1+2=3

chiffres après la virgule. Ainsi :

3{,}7\times 2{,}45=9{,}065

Contrôler avec un ordre de grandeur

Méthode

Pour trouver un ordre de grandeur d'un résultat, on remplace chaque nombre par un nombre proche, simple à calculer de tête.

\pink{\text{Exemple :}}

3{,}7

est proche de

4

2{,}45

est proche de

2{,}5

. Or

4\times 2{,}5=10

.
Le résultat

9{,}065

est bien proche de

10

: il est vraisemblable. Un résultat comme

90{,}65

0{,}9065

serait faux.

La division euclidienne

Définition

Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier $a$ (le dividende) par un nombre entier $b$ non nul (le diviseur), c'est trouver deux nombres entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que :
$a=b\times q+r$ avec $r\lt b$

\pink{\text{Exemple :}}

Effectuer la division euclidienne de

745

par

6

Le quotient est

124

et le reste est

1

. On écrit :

745=6\times 124+1

avec

1\lt 6

La division décimale

Méthode

On pose la division comme une division euclidienne.
Quand on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende, on place la virgule au quotient.
Si le reste n'est pas nul, on continue en ajoutant des zéros à la fin de la partie décimale du dividende : $17{,}4=17{,}40=17{,}400$ .

\pink{\text{Exemple :}}

Calculer

17{,}4\div 4

Ainsi :

17{,}4\div 4=4{,}35

\blue{\text{Vérification :}}

4\times 4{,}35=17{,}4

\pink{\text{Exemple :}}

Calculer

3\div 4

. Comme

3\lt 4

, le quotient commence par

0

, puis on ajoute des zéros après la virgule.

Ainsi :

3\div 4=0{,}75

\pink{\text{Exemple :}}

10\div 3=3{,}333\ldots

: la division ne s'arrête jamais. On donne alors un arrondi :

10\div 3\approx 3{,}33

(arrondi au centième).

Les deux sens de la division

Propriété

Partage : on connaît le total et le nombre de parts égales ; on cherche la valeur d'une part.
Regroupement : on connaît le total et la valeur d'une part ; on cherche le nombre de parts.

\pink{\text{Exemple (partage) :}}

Six amis se partagent équitablement

45

euros. Combien reçoit chacun ?

45\div 6=7{,}5

. Ainsi :

chacun reçoit

7{,}50

euros

\pink{\text{Exemple (regroupement) :}}

On range

45

œufs dans des boîtes de

6

. Combien de boîtes peut-on remplir ?

La division euclidienne de

45

par

6

donne

45=6\times 7+3

. Ainsi :

on remplit

7

boîtes et il reste

3

œufs

Pour ranger tous les œufs, il faut donc

8

boîtes.

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