Pour aller plus loin : Archimède, l'histoire du mètre et la ficelle autour de la Terre - Exercice 1

20 min

Archimède et le nombre $\pi$ . Il y a plus de

2\;000

ans, le savant grec Archimède a encadré le périmètre d'un cercle à l'aide de polygones. On trace un cercle de rayon

2\text{ cm}

, un hexagone régulier à l'intérieur et un carré autour.

Question 1

Les côtés de l'hexagone mesurent autant que le rayon, et le côté du carré est égal au diamètre. Calculer le périmètre de l'hexagone et celui du carré.

Correction

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour.
Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés, exprimées dans la même unité.

Hexagone :

6

côtés de

2\text{ cm}

, soit

6\times 2\text{ cm}=12\text{ cm}

. Carré : le diamètre mesure

2\times 2\text{ cm}=4\text{ cm}

, donc

4\times 4\text{ cm}=16\text{ cm}

.
Ainsi :

hexagone :

12\text{ cm}

; carré :

16\text{ cm}

Question 2

Correction

Le cercle est entre l'hexagone et le carré : son périmètre est compris entre

12\text{ cm}

16\text{ cm}

, c'est-à-dire entre

3

4

diamètres. Et

3{,}14\times 4\text{ cm}=12{,}56\text{ cm}

, qui est bien entre les deux :

12\text{ cm}\lt 12{,}56\text{ cm}\lt 16\text{ cm}

.
Avec des polygones de

96

côtés, Archimède a montré que

\pi

est compris entre

3{,}1408

3{,}1429

.
Ainsi :

12\text{ cm}\lt P\lt 16\text{ cm}

, et

P\approx 12{,}56\text{ cm}

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