Cours : unités de longueur, conversions et périmètre d'un polygone

Les unités de longueur

Définition
  • L'unité principale de longueur est le mètre (m).
  • Ses multiples sont le kilomètre (km), l'hectomètre (hm) et le décamètre (dam) ; ses sous-multiples sont le décimètre (dm), le centimètre (cm) et le millimètre (mm).
  • Les préfixes ont le même sens qu'en numération : kilo signifie mille, hecto cent, déca dix, déci un dixième, centi un centième et milli un millième.
  • Chaque unité vaut 1010 fois l'unité écrite juste à sa droite.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Les unités de longueur, de la plus grande à la plus petite, et leur valeur en mètres.

1 km=1  000 m1\text{ km}=1\;000\text{ m}, 1 hm=100 m1\text{ hm}=100\text{ m} et 1 dam=10 m1\text{ dam}=10\text{ m} ; le mètre est l'unité de référence, 1 m=100 cm1\text{ m}=100\text{ cm} ; 1 dm=0,1 m1\text{ dm}=0{,}1\text{ m}, 1 cm=0,01 m1\text{ cm}=0{,}01\text{ m} et 1 mm=0,001 m1\text{ mm}=0{,}001\text{ m}.
Par exemple, 1 dm=10 cm1\text{ dm}=10\text{ cm} ; et 1 cm1\text{ cm} est un dixième de décimètre : 1 cm=0,1 dm1\text{ cm}=0{,}1\text{ dm}.
Ainsi :
pour passer d'une unité à l'unité voisine plus petite, on multiplie le nombre par 1010

Convertir des longueurs

Méthode : le tableau de conversion
  • On écrit le nombre dans le tableau : son chiffre des unités va dans la colonne de l'unité donnée.
  • On place la virgule juste après la colonne de l'unité demandée, en complétant par des zéros si nécessaire.
  • Vers une unité plus petite, le nombre devient plus grand ; vers une unité plus grande, il devient plus petit.
Exemples :\pink{\text{Exemples :}} Convertir 3,5 m3{,}5\text{ m} en cm, 1  250 m1\;250\text{ m} en km et 47 mm47\text{ mm} en cm.

  • 3,5 m3{,}5\text{ m} : le 33 va dans la colonne m et le 55 dans la colonne dm ; on ajoute un 00 dans la colonne cm : 3,5 m=350 cm3{,}5\text{ m}=350\text{ cm}, car 3,5×100=3503{,}5\times 100=350.
  • 1  250 m1\;250\text{ m} : le 00 des unités va dans la colonne m ; la virgule se place juste après la colonne km : 1  250 m=1,25 km1\;250\text{ m}=1{,}25\text{ km}, car 1  250÷1  000=1,251\;250\div 1\;000=1{,}25.
  • 47 mm47\text{ mm} : le 77 va dans la colonne mm ; la virgule se place juste après la colonne cm : 47 mm=4,7 cm47\text{ mm}=4{,}7\text{ cm}, car 47÷10=4,747\div 10=4{,}7.

Ainsi :
3,5 m=350 cm3{,}5\text{ m}=350\text{ cm} ; 1  250 m=1,25 km1\;250\text{ m}=1{,}25\text{ km} ; 47 mm=4,7 cm47\text{ mm}=4{,}7\text{ cm}

Périmètre d'un polygone

Définition
  • Le périmètre d'une figure plane est la longueur de son contour.
  • Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés, toutes exprimées dans la même unité.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Le triangle ABCABC est rectangle en AA.

P=3 cm+4 cm+5 cm=12 cmP=3\text{ cm}+4\text{ cm}+5\text{ cm}=12\text{ cm}.
Ainsi :
le périmètre du triangle ABCABC est 12 cm12\text{ cm}
Meˊthode du compas :\pink{\text{Méthode du compas :}} pour obtenir un périmètre sans calcul, on reporte les côtés bout à bout sur une demi-droite avec le compas, puis on mesure la longueur totale.

Ici, les côtés mesurent 2 cm2\text{ cm}, 3 cm3\text{ cm}, 2,5 cm2{,}5\text{ cm} et 1,5 cm1{,}5\text{ cm} : 2 cm+3 cm+2,5 cm+1,5 cm=9 cm2\text{ cm}+3\text{ cm}+2{,}5\text{ cm}+1{,}5\text{ cm}=9\text{ cm}.
Ainsi :
le périmètre du quadrilatère ABCDABCD est 9 cm9\text{ cm}

Périmètre du carré et du rectangle

Formules
  • Un carré de côté cc a pour périmètre P=4×cP=4\times c.
  • Un rectangle de longueur LL et de largeur ℓ\ell a pour périmètre P=2×(L+ℓ)P=2\times (L+\ell), c'est-à-dire L+ℓ+L+ℓL+\ell+L+\ell.
  • Pour calculer, on remplace chaque lettre par sa valeur, toutes les longueurs étant dans la même unité.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un carré a pour côté 3,5 cm3{,}5\text{ cm} : P=4×3,5 cm=14 cmP=4\times 3{,}5\text{ cm}=14\text{ cm}.
Ainsi :
le périmètre du carré est 14 cm14\text{ cm}
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Le rectangle ABCDABCD a pour longueur 7 cm7\text{ cm} et pour largeur 4 cm4\text{ cm}.

P=2×(7 cm+4 cm)=2×11 cm=22 cmP=2\times(7\text{ cm}+4\text{ cm})=2\times 11\text{ cm}=22\text{ cm}.
Ainsi :
le périmètre du rectangle est 22 cm22\text{ cm}
Attention :\red{\text{Attention :}} les longueurs doivent être dans la même unité. Pour un rectangle de 1,2 m1{,}2\text{ m} sur 80 cm80\text{ cm}, on convertit d'abord : 80 cm=0,8 m80\text{ cm}=0{,}8\text{ m}. Puis P=2×(1,2 m+0,8 m)=2×2 m=4 mP=2\times(1{,}2\text{ m}+0{,}8\text{ m})=2\times 2\text{ m}=4\text{ m}.

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