Cours : périmètre d'un cercle et de figures composées

Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre

Propriété

Le périmètre d'un cercle (la longueur du cercle) est proportionnel à son diamètre : si le diamètre est multiplié par $2$ , par $3$ ou par $10$ , le périmètre l'est aussi.
Pour tous les cercles, le périmètre vaut un peu plus de $3$ fois le diamètre.

\pink{\text{Exemple :}}

Des cercles de diamètres

1\text{ cm}

2\text{ cm}

5\text{ cm}

10\text{ cm}

ont pour périmètres environ

3{,}14\text{ cm}

6{,}28\text{ cm}

15{,}7\text{ cm}

31{,}4\text{ cm}

Quand le diamètre est multiplié par

10

, le périmètre aussi :

3{,}14\times 10=31{,}4

. Et

31{,}4\div 10=3{,}14

: le périmètre vaut environ

3{,}14

fois le diamètre.

\pink{\text{Exemple :}}

On fait rouler une roue de diamètre

4\text{ cm}

d'un tour complet : son contour se déroule sur la ligne.

Le contour déroulé mesure environ

12{,}56\text{ cm}

: c'est un peu plus que

3

diamètres, car

3\times 4\text{ cm}=12\text{ cm}

La formule du périmètre d'un cercle

Formule

Le nombre par lequel on multiplie le diamètre s'appelle $\pi$ (on lit « pi »). On utilise sa valeur approchée $3{,}14$ .
Un cercle de diamètre $d$ a pour périmètre $P=\pi\times d$ . Comme $d=2\times r$ , on a aussi $P=2\times\pi\times r$ .

\pink{\text{Exemple :}}

Un cercle a pour diamètre

6\text{ cm}

P\approx 3{,}14\times 6\text{ cm}=18{,}84\text{ cm}

, soit environ

18{,}8\text{ cm}

au dixième près.
Ainsi :

P\approx 18{,}84\text{ cm}

\pink{\text{Exemple :}}

Un cercle a pour rayon

5\text{ cm}

: son diamètre mesure

2\times 5\text{ cm}=10\text{ cm}

, donc

P\approx 3{,}14\times 10\text{ cm}=31{,}4\text{ cm}

.
Ainsi :

P\approx 31{,}4\text{ cm}

Périmètre d'une figure composée

Méthode

On suit le contour de la figure et on additionne les longueurs de tous ses morceaux : segments et arcs de cercle.
Un demi-cercle de diamètre $d$ mesure la moitié d'un cercle : $\pi\times d\div 2$ .
Les segments qui sont à l'intérieur de la figure ne font pas partie du contour : on ne les compte pas.

\pink{\text{Exemple :}}

La figure est formée d'un rectangle de

6\text{ cm}

sur

4\text{ cm}

et d'un demi-disque de diamètre

4\text{ cm}

Le demi-cercle mesure environ $3{,}14\times 4\text{ cm}\div 2=6{,}28\text{ cm}$ .
Le côté en pointillés est à l'intérieur de la figure : on ne le compte pas.
On suit le contour : $4\text{ cm}+6\text{ cm}+6{,}28\text{ cm}+6\text{ cm}=22{,}28\text{ cm}$ .

Ainsi :

le périmètre de la figure est environ

22{,}28\text{ cm}

\pink{\text{Exemple :}}

Une piste est formée de deux lignes droites de

10\text{ m}

et de deux demi-cercles de diamètre

6\text{ m}

Chaque demi-cercle mesure environ

3{,}14\times 6\text{ m}\div 2=9{,}42\text{ m}

. Le tour de piste mesure

10\text{ m}+9{,}42\text{ m}+10\text{ m}+9{,}42\text{ m}=38{,}84\text{ m}

.
Ainsi :

le tour de piste mesure environ

38{,}84\text{ m}

Résoudre un problème de longueurs

Méthode

On fait un schéma et on repère les longueurs utiles.
On exprime toutes les longueurs dans la même unité.
On calcule, puis on répond par une phrase, sans oublier l'unité.

\pink{\text{Exemple :}}

Une roue de vélo a un diamètre de

70\text{ cm}

. Quelle distance le vélo parcourt-il quand la roue fait

100

tours ?

En un tour, le vélo avance du périmètre de la roue :

3{,}14\times 70\text{ cm}=219{,}8\text{ cm}

. En

100

tours :

100\times 219{,}8\text{ cm}=21\;980\text{ cm}=219{,}8\text{ m}

.
Ainsi :

le vélo parcourt environ

219{,}8\text{ m}

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