Cours : les différents sens d'une fraction

Vocabulaire

Définition

Dans la fraction $\dfrac{3}{4}$ , $3$ est le numérateur et $4$ est le dénominateur. Le trait horizontal s'appelle le trait de fraction.
On lit : $\dfrac{1}{2}$ un demi ; $\dfrac{1}{3}$ un tiers ; $\dfrac{1}{4}$ un quart ; $\dfrac{3}{5}$ trois cinquièmes ; $\dfrac{7}{10}$ sept dixièmes.

Une fraction pour partager une unité

Une partie d'un tout

Définition

Le dénominateur indique en combien de parts égales on partage l'unité ; le numérateur indique combien de ces parts on prend.

\pink{\text{Exemple :}}

On partage une bande (l'unité) en

4

parts égales et on en colorie

3

On a colorié

\dfrac{3}{4}

de la bande

(trois quarts).

Des fractions plus grandes que 1

Propriété

$\dfrac{7}{4}$ , c'est sept quarts : $\dfrac{7}{4}=7\times\dfrac{1}{4}$ . Il faut plus d'une unité pour colorier sept quarts.
Un nombre écrit comme un entier plus une fraction plus petite que $1$ s'appelle un nombre mixte.

\pink{\text{Exemple :}}

On colorie

7

quarts : une unité entière et

3

quarts d'une deuxième unité.

\dfrac{7}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{3}{4}

\dfrac{4}{4}=1

. Ainsi :

\dfrac{7}{4}=1+\dfrac{3}{4}

La fraction, un quotient

Définition

Le quotient de $a$ par $b$ (avec $b$ non nul) est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ . On le note $\dfrac{a}{b}$ :
$b\times\dfrac{a}{b}=a$
On a donc $\dfrac{a}{b}=a\div b$ .

\pink{\text{Exemple :}}

\dfrac{3}{4}

, c'est trois quarts d'unité, mais c'est aussi le quart de

3

: on partage une bande de

3

unités en

4

parts égales.

Une part mesure

\dfrac{3}{4}

\dfrac{3}{4}=3\div 4=0{,}75

\blue{\text{Vérification :}}

4\times 0{,}75=3

\pink{\text{Exemple (égalités à trous) :}}

Quel nombre faut-il multiplier par

4

pour obtenir

3

?
D'après la définition,

4\times\dfrac{3}{4}=3

. Ainsi :

4\times\dfrac{3}{4}=3

De même,

7\times\ldots=2

se complète par

\dfrac{2}{7}

Remarque

Une fraction peut représenter un nombre entier ( $\dfrac{12}{4}=3$ ), un nombre décimal non entier ( $\dfrac{3}{4}=0{,}75$ ) ou un nombre qui n'est pas décimal ( $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$ , la division ne s'arrête jamais).
À connaître : $\dfrac{1}{4}=0{,}25$ ; $\dfrac{1}{2}=0{,}5$ ; $\dfrac{3}{4}=0{,}75$ ; $\dfrac{3}{2}=1{,}5$ ; $\dfrac{4}{2}=2$ ; $\dfrac{5}{2}=2{,}5$ .

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Méthode

Pour repérer $\dfrac{a}{b}$ , on partage l'unité en $b$ parts égales : chaque graduation vaut $\dfrac{1}{b}$ .
On compte ensuite $a$ graduations à partir de l'origine.

\pink{\text{Exemple :}}

L'unité est partagée en

4

: chaque graduation vaut

\dfrac{1}{4}

A

est à

3

graduations de l'origine :

A

a pour abscisse

\dfrac{3}{4}

B

est à

7

graduations de l'origine :

B

a pour abscisse

\dfrac{7}{4}

\pink{\text{Exemple (partager un segment) :}}

Pour partager un segment de

12

cm en

5

parts égales, on calcule

12\div 5=2{,}4

: chaque part mesure

2{,}4

cm.
Quand la division ne tombe pas juste (par exemple

10

cm en

3

parts), on utilise un guide-âne : un réseau de droites parallèles également espacées.

Prendre une fraction d'une quantité ou d'un nombre

Propriété

Prendre $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité, c'est la partager en $b$ parts égales puis prendre $a$ parts.
$\dfrac{a}{b}$ de $N$ $=\dfrac{a}{b}\times N=\left(N\div b\right)\times a$ .

\pink{\text{Exemple :}}

Calculer

\dfrac{2}{3}

12

œufs. On partage les

12

œufs en

3

parts égales, puis on prend

2

parts :

Une part :

12\div 3=4

œufs. Deux parts :

2\times 4=8

œufs. Ainsi :

\dfrac{2}{3}

12

œufs, c'est

8

œufs

\pink{\text{Exemples :}}

$\dfrac{3}{4}$ de $10$ m : $10\div 4=2{,}5$ et $2{,}5\times 3=7{,}5$ , soit $7{,}5$ m ;
$\dfrac{1}{4}\times 7=\dfrac{7}{4}=1{,}75$ : c'est le quart de $7$ .

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