Cours : comparer et calculer avec des fractions, pourcentages

Des fractions égales

Propriété
  • On ne change pas une fraction quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Les deux bandes ont la même partie coloriée :

23=2×23×2=46\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 2}{3\times 2}=\dfrac{4}{6}. Ainsi :
23=46\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}
Exemple (simplifier) :\pink{\text{Exemple (simplifier) :}} 1212 et 1818 sont tous les deux dans la table de 66 :
1218=12÷618÷6\dfrac{12}{18}=\dfrac{12\div 6}{18\div 6}. Ainsi :
1218=23\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}

Comparer, encadrer et ranger des fractions

Méthode
  • Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que 11 ; s'il est plus grand, elle est plus grande que 11.
  • Même dénominateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : 59>29\dfrac{5}{9}\gt\dfrac{2}{9}.
  • Même numérateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur. Exemple : 34>38\dfrac{3}{4}\gt\dfrac{3}{8} (les quarts sont plus grands que les huitièmes).
  • Sinon, on écrit les fractions avec le même dénominateur.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Comparer 34\dfrac{3}{4} et 58\dfrac{5}{8}. Comme 8=4×28=4\times 2 : 34=3×24×2=68\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\times 2}{4\times 2}=\dfrac{6}{8}.

6>56\gt 5, donc 68>58\dfrac{6}{8}\gt\dfrac{5}{8}. Ainsi :
34>58\dfrac{3}{4}\gt\dfrac{5}{8}
Exemple (encadrer) :\pink{\text{Exemple (encadrer) :}} Encadrer 175\dfrac{17}{5} entre deux nombres entiers consécutifs.
155=3\dfrac{15}{5}=3 et 205=4\dfrac{20}{5}=4. Comme 15<17<2015\lt 17\lt 20 :
3<175<43\lt\dfrac{17}{5}\lt 4

De plus 17=15+217=15+2, donc 175=3+25\dfrac{17}{5}=3+\dfrac{2}{5} (nombre mixte).
Exemple (ranger) :\pink{\text{Exemple (ranger) :}} Ranger dans l'ordre croissant : 12\dfrac{1}{2} ; 38\dfrac{3}{8} ; 34\dfrac{3}{4} ; 58\dfrac{5}{8}.
On écrit tout en huitièmes : 48\dfrac{4}{8} ; 38\dfrac{3}{8} ; 68\dfrac{6}{8} ; 58\dfrac{5}{8}. Ainsi :
38<12<58<34\dfrac{3}{8}\lt\dfrac{1}{2}\lt\dfrac{5}{8}\lt\dfrac{3}{4}

Additionner et soustraire des fractions

Méthode
  • Avec le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.
  • Sinon, on écrit d'abord les deux fractions avec le même dénominateur.
Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • 27+37=2+37=57\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{2+3}{7}=\dfrac{5}{7} ;
  • 56−13=56−26=36=12\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Calculer 14+38\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}. Un quart, c'est deux huitièmes :

14+38=28+38\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}. Ainsi :
14+38=58\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}

Multiplier une fraction par un nombre entier

Propriété
  • k×ab=k×abk\times\dfrac{a}{b}=\dfrac{k\times a}{b} : on multiplie le numérateur et on garde le dénominateur.
Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • 3×27=3×27=673\times\dfrac{2}{7}=\dfrac{3\times 2}{7}=\dfrac{6}{7} ;
  • 14×7=74\dfrac{1}{4}\times 7=\dfrac{7}{4} : c'est le quart de 77, et aussi 77 quarts.

Les pourcentages

Définition
  • Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100100 : p  %=p100p\;\%=\dfrac{p}{100}.
  • Appliquer un pourcentage : p  %p\;\% de NN =p100×N=\dfrac{p}{100}\times N.
Exemple (proportion) :\pink{\text{Exemple (proportion) :}} Dans une classe de 2525 élèves, il y a 1212 filles. Quelle est la proportion de filles ?
La proportion est 1225\dfrac{12}{25}. On cherche une fraction égale de dénominateur 100100 : 1225=12×425×4=48100\dfrac{12}{25}=\dfrac{12\times 4}{25\times 4}=\dfrac{48}{100}.

Ainsi :
il y a 48  %48\;\% de filles
Exemple (appliquer) :\pink{\text{Exemple (appliquer) :}} Calculer 30  %30\;\% de 250250 euros. 10  %10\;\% de 250250, c'est 2525 ; donc 30  %30\;\%, c'est 3×253\times 25 :

30100×250=250÷100×30=75\dfrac{30}{100}\times 250=250\div 100\times 30=75. Ainsi :
30  %30\;\% de 250250 euros, c'est 7575 euros

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