Cours : les triangles

Construire un triangle connaissant ses trois côtés

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Construire un triangle ABCABC tel que AB=6 cmAB=6\text{ cm}, AC=4 cmAC=4\text{ cm} et BC=5 cmBC=5\text{ cm}.
On trace le segment [AB][AB] de 6 cm6\text{ cm}. Le point CC est à 4 cm4\text{ cm} de AA : il est sur le cercle de centre AA et de rayon 4 cm4\text{ cm}, dont on trace un arc. Il est aussi à 5 cm5\text{ cm} de BB : on trace un arc de centre BB et de rayon 5 cm5\text{ cm}. Le point CC est à l'intersection des deux arcs.
Propriété (inégalité triangulaire)
  • On ne peut construire un triangle que si la plus grande des trois longueurs est plus petite que la somme des deux autres.
  • Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, les trois points sont alignés : le triangle est « aplati ».
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Avec 7 cm7\text{ cm}, 2 cm2\text{ cm} et 3 cm3\text{ cm} : 2 cm+3 cm=5 cm2\text{ cm}+3\text{ cm}=5\text{ cm} et 5 cm<7 cm5\text{ cm}\lt 7\text{ cm}. Les deux arcs ne se coupent pas.

Ainsi :
on ne peut pas construire ce triangle

Triangles particuliers

Définitions et propriétés
  • Un triangle rectangle a un angle droit.
  • Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur ; ses deux angles à la base ont la même mesure.
  • Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur ; ses trois angles mesurent 60∘60^\circ.
Les codages :\pink{\text{Les codages :}} l'angle droit est codé par un petit carré, les côtés de même longueur par un même signe, les angles de même mesure par un même arc.

Somme des angles d'un triangle

Propriété
  • Dans un triangle ABCABC, la somme des mesures des trois angles est égale à 180∘180^\circ :
    A^+B^+C^=180∘\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Dans le triangle ABCABC, A^=50∘\widehat{A}=50^\circ et B^=70∘\widehat{B}=70^\circ. Calculer C^\widehat{C}.

C^=180∘−50∘−70∘=60∘\widehat{C}=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ. Ainsi :
C^=60∘\widehat{C}=60^\circ
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} ABCABC est isocèle en AA et A^=40∘\widehat{A}=40^\circ. Ses angles à la base B^\widehat{B} et C^\widehat{C} ont la même mesure.

180∘−40∘=140∘180^\circ-40^\circ=140^\circ, puis 140∘÷2=70∘140^\circ\div 2=70^\circ. Ainsi :
B^=C^=70∘\widehat{B}=\widehat{C}=70^\circ

Construire un triangle avec un côté et deux angles

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Construire un triangle ABCABC tel que AB=5 cmAB=5\text{ cm}, A^=40∘\widehat{A}=40^\circ et B^=60∘\widehat{B}=60^\circ.
On trace [AB][AB]. Au rapporteur, on trace en AA une demi-droite qui fait un angle de 40∘40^\circ avec [AB][AB], et en BB une demi-droite qui fait un angle de 60∘60^\circ. Elles se coupent en CC.

Veˊrification :\blue{\text{Vérification :}} C^=180∘−40∘−60∘=80∘\widehat{C}=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ, ce que l'on peut contrôler au rapporteur.

Médiatrices et cercle circonscrit

Propriété
  • Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point OO.
  • Ce point est à la même distance des trois sommets : OA=OB=OCOA=OB=OC. Le cercle de centre OO qui passe par les trois sommets s'appelle le cercle circonscrit au triangle.
Pourquoi ?\pink{\text{Pourquoi ?}} OO est sur la médiatrice de [AB][AB], donc OA=OBOA=OB ; il est sur la médiatrice de [AC][AC], donc OA=OCOA=OC. Ainsi OA=OB=OCOA=OB=OC, et OO est aussi sur la médiatrice de [BC][BC].

Pour construire le cercle circonscrit, il suffit donc de tracer deux médiatrices : leur point d'intersection est le centre.

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