Cours : les angles et la bissectrice

Vocabulaire

Définitions
  • Un angle est formé par deux demi-droites de même origine. Cette origine est le sommet de l'angle ; les deux demi-droites sont ses côtés.
  • L'angle formé par [Ox)[Ox) et [Oy)[Oy) se note xOy^\widehat{xOy}. Si AA est sur [Ox)[Ox) et BB sur [Oy)[Oy), on peut aussi le noter AOB^\widehat{AOB} : la lettre du sommet est toujours au milieu.
  • Un angle se mesure en degrés (∘^\circ) avec un rapporteur.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} L'angle xOy^\widehat{xOy} a pour sommet OO et pour côtés [Ox)[Ox) et [Oy)[Oy).

Les différentes sortes d'angles

Définitions
  • Un angle nul mesure 0∘0^\circ ; un angle aigu mesure entre 0∘0^\circ et 90∘90^\circ ; un angle droit mesure 90∘90^\circ ;
  • un angle obtus mesure entre 90∘90^\circ et 180∘180^\circ ; un angle plat mesure 180∘180^\circ (ses côtés forment une droite) ; un angle plein mesure 360∘360^\circ (un tour complet).
Exemples :\pink{\text{Exemples :}} un angle de 40∘40^\circ est aigu, un angle de 90∘90^\circ est droit, un angle de 130∘130^\circ est obtus.

Un angle de 0∘0^\circ est nul, un angle de 180∘180^\circ est plat, un angle de 360∘360^\circ est plein.

Mesurer un angle avec un rapporteur

Méthode
  • On place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.
  • On fait passer la graduation 00 du rapporteur par l'un des côtés.
  • On lit la mesure là où passe l'autre côté, sur la graduation qui part de 00 sur le premier côté.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Le côté [OA)[OA) passe par le 00 de la graduation bleue, celle de l'extérieur. On lit donc sur cette graduation : le côté [OB)[OB) passe par 5050.

Ainsi :
AOB^=50∘\widehat{AOB}=50^\circ

Attention :\red{\text{Attention :}} sur l'autre graduation on lirait 130130, mais elle ne part pas de 00 sur [OA)[OA). D'ailleurs l'angle est aigu : il mesure moins de 90∘90^\circ.

Construire un angle de mesure donnée

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Construire un angle AOB^\widehat{AOB} de 130∘130^\circ.
On trace une demi-droite [OA)[OA). On place le centre du rapporteur en OO et le 00 sur [OA)[OA). On marque un point BB en face de la graduation 130130 de l'échelle qui part de 00 sur [OA)[OA), puis on trace la demi-droite [OB)[OB).

Ainsi :
AOB^=130∘\widehat{AOB}=130^\circ : c'est un angle obtus

Angles adjacents, opposés par le sommet, supplémentaires

Définitions
  • Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et s'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
  • Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
  • Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180∘180^\circ.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} AOB^\widehat{AOB} et BOC^\widehat{BOC} sont adjacents : ils ont le même sommet OO et le côté commun [OB)[OB).

AOC^=AOB^+BOC^=35∘+50∘=85∘\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=35^\circ+50^\circ=85^\circ. Ainsi :
AOC^=85∘\widehat{AOC}=85^\circ
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Les droites (AA′)(AA') et (BB′)(BB') se coupent en OO.

AOB^\widehat{AOB} et A′OB′^\widehat{A'OB'} sont opposés par le sommet : ils mesurent tous les deux 40∘40^\circ.
AOB^\widehat{AOB} et AOB′^\widehat{AOB'} sont supplémentaires, car [OB)[OB) et [OB′)[OB') forment un angle plat : 180∘−40∘=140∘180^\circ-40^\circ=140^\circ.
Ainsi :
A′OB′^=40∘\widehat{A'OB'}=40^\circ et AOB′^=140∘\widehat{AOB'}=140^\circ

Bissectrice d'un angle

Définition
  • La bissectrice d'un angle saillant (un angle de moins de 180∘180^\circ) est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} AOB^=80∘\widehat{AOB}=80^\circ et [Oz)[Oz) est sa bissectrice.

80∘÷2=40∘80^\circ\div 2=40^\circ. Ainsi :
AOz^=zOB^=40∘\widehat{AOz}=\widehat{zOB}=40^\circ
Construction au compas :\pink{\text{Construction au compas :}} on trace un arc de centre OO qui coupe les côtés en MM et en NN ; puis, avec un même écartement, deux arcs centrés en MM et en NN, qui se coupent en PP. La demi-droite [OP)[OP) est la bissectrice de AOB^\widehat{AOB}.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.