Cours : la symétrie axiale

Symétrique d'un point

Définition
  • Le symétrique d'un point MM par rapport à une droite (d)(d) est le point M′M' tel que (d)(d) soit la médiatrice du segment [MM′][MM'].
  • Si le point MM est sur la droite (d)(d), son symétrique est lui-même.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} La droite (d)(d) est perpendiculaire à [MM′][MM'] et passe par son milieu HH : HM=HM′HM=HM'.

Construire le symétrique d'une figure

Méthodes
  • À l'équerre : on trace la perpendiculaire à (d)(d) qui passe par le point, puis on reporte la même distance de l'autre côté de (d)(d), avec le compas ou la règle.
  • Sur un quadrillage : on compte les carreaux jusqu'à l'axe, puis autant de carreaux de l'autre côté, sur la même ligne.
  • Pour un polygone, on construit le symétrique de chaque sommet, puis on relie les points obtenus dans le même ordre.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} AA est à 33 carreaux à gauche de (d)(d) : A′A' est à 33 carreaux à droite, sur la même ligne. De même, BB est à 11 carreau et CC à 44 carreaux de (d)(d).

Propriétés de la symétrie axiale

Propriété
  • La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, l'alignement et les aires : une figure et sa symétrique se superposent par pliage le long de l'axe.
  • Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ; le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} A′B′C′A'B'C' est le symétrique du triangle ABCABC par rapport à (d)(d).

AB=3 cmAB=3\text{ cm}, donc A′B′=3 cmA'B'=3\text{ cm} ; ABC^=45∘\widehat{ABC}=45^\circ, donc A′B′C′^=45∘\widehat{A'B'C'}=45^\circ ; l'angle droit en AA a pour symétrique un angle droit en A′A'.

Axes de symétrie d'une figure

Définition
  • Une droite est un axe de symétrie d'une figure si la figure est sa propre symétrique par rapport à cette droite : en pliant le long de l'axe, les deux moitiés se superposent exactement.
Exemples :\pink{\text{Exemples :}} un rectangle a 22 axes de symétrie, un carré 44, un triangle équilatéral 33 et un cercle une infinité (toutes les droites qui passent par son centre).

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