Pour aller plus loin : nombres triangulaires, tour de magie et nombres carrés - Exercice 3

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Les nombres carrés. On dispose des points en carré.
Question 1

Combien de points y a-t-il à l'étape 1010 ? Et à l'étape 2525 ?

Correction
On compte 11, 44, 99 puis 1616 points : l'étape nn est un carré de nn rangées de nn points.
À l'étape 1010 : 10×10=10010\times 10=100. À l'étape 2525 : 25×25=62525\times 25=625.
Ainsi :
100100 points à l'étape 1010 et 625625 à l'étape 2525
Question 2

Combien de points (en orange) ajoute-t-on pour passer de l'étape 44 à l'étape 55 ? Et de l'étape 1010 à l'étape 1111 ?

Correction
On ajoute une rangée et une colonne, qui ont un point commun dans le coin. De l'étape 44 à l'étape 55, on ajoute 5+5−1=95+5-1=9 points, et 16+9=2516+9=25.
De l'étape 1010 à l'étape 1111, on ajoute 11+11−1=2111+11-1=21 points.
Ainsi :
on ajoute 99 points, puis 2121 points
Question 3

Calculer 1+3+5+7+91+3+5+7+9. Que remarque-t-on ?

Correction
1+3+5+7+9=25=5×51+3+5+7+9=25=5\times 5. Les points ajoutés d'une étape à la suivante sont les nombres impairs 11, 33, 55, 77, 99…
Ainsi :
la somme des 55 premiers nombres impairs est 2525, le nombre carré de l'étape 55

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