Les suites de nombres - Exercice 4

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On considère la suite 11 ; 44 ; 77 ; 1010 ; … où l'on ajoute toujours 33.
Question 1

Quel est le reste de la division par 33 de chaque nombre de la suite ?

Correction
1=(0×3)+11=(0\times 3)+1, 4=(1×3)+14=(1\times 3)+1, 7=(2×3)+17=(2\times 3)+1 et 10=(3×3)+110=(3\times 3)+1 : quand on ajoute 33, le reste ne change pas.
Ainsi :
le reste est toujours 11
Question 2

Le nombre 2  0262\;026 appartient-il à cette suite ? Si oui, à quel rang ?

Correction
Les nombres de la suite s'obtiennent en ajoutant à 11 un certain nombre de fois 33. On enlève le 11 de départ : 2  026−1=2  0252\;026-1=2\;025. Puis 2  025÷3=6752\;025\div 3=675 : la division tombe juste.
Donc 2  026=1+(675×3)2\;026=1+(675\times 3) : on a ajouté 675675 fois 33, et 2  0262\;026 est le 675+1=676675+1=676e nombre de la suite.
Ainsi :
oui, c'est le 676676e nombre de la suite
Question 3

Et le nombre 2  0302\;030 ?

Correction
2  030−1=2  0292\;030-1=2\;029 et 2  029=(676×3)+12\;029=(676\times 3)+1 : le reste n'est pas 00, donc 2  0292\;029 n'est pas un multiple de 33. On ne tombe pas sur 2  0302\;030 en ajoutant des 33 à 11.
Ainsi :
non, 2  0302\;030 n'appartient pas à la suite

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