Les motifs évolutifs - Exercice 4

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On aligne des triangles construits avec des allumettes.
Question 1

Léo affirme : « Chaque triangle a 33 côtés, donc à l'étape 2020 il faudra 3×20=603\times 20=60 allumettes. » A-t-il raison ?

Correction
  • On compte les éléments des premières étapes et on cherche ce qui s'ajoute d'une étape à la suivante.
  • On repère la structure du motif : une partie de départ, qui ne change pas, et une partie qui grandit avec le numéro de l'étape.
  • Pour trouver l'étape qui correspond à un nombre d'éléments, on remonte la règle avec les opérations inverses.
Non : deux triangles voisins partagent une allumette. On compte 33, puis 55, puis 77 allumettes : on en ajoute 22 par nouveau triangle.
Structure : 11 allumette de départ (en orange) et 22 allumettes par triangle (en bleu). À l'étape 2020 : 1+(2×20)=411+(2\times 20)=41.
Ainsi :
non, il faut 4141 allumettes, et pas 6060
Question 2

Avec 100100 allumettes, combien de triangles peut-on aligner au maximum ?

Correction
Il faut 11 allumette de départ, puis 22 par triangle : 100−1=99100-1=99 et 99÷2=49,599\div 2=49{,}5.
On ne peut pas construire un demi-triangle : 4949 triangles utilisent 1+(2×49)=991+(2\times 49)=99 allumettes, et il reste 11 allumette.
Ainsi :
on peut aligner 4949 triangles

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