Les motifs évolutifs - Exercice 3

20 min
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Voici un motif de carrés en forme de croix.
Question 1

Compléter le tableau.

Correction
  • On compte les éléments des premières étapes et on cherche ce qui s'ajoute d'une étape à la suivante.
  • On repère la structure du motif : une partie de départ, qui ne change pas, et une partie qui grandit avec le numéro de l'étape.
  • Pour trouver l'étape qui correspond à un nombre d'éléments, on remonte la règle avec les opérations inverses.
On compte 55, 99 et 1313 carrés : à chaque étape, on ajoute un carré au bout de chacune des 44 branches, soit 44 carrés.
13+4=1713+4=17 et 17+4=2117+4=21.
Ainsi :
1717 carrés à l'étape 44 et 2121 carrés à l'étape 55
Question 2

Combien de carrés y a-t-il à l'étape 2525 ?

Correction
Structure : un carré central (en orange) et 44 branches (en bleu) qui ont autant de carrés que le numéro de l'étape. Par exemple, à l'étape 33 : 1+(4×3)=131+(4\times 3)=13.
À l'étape 2525 : 1+(4×25)=1011+(4\times 25)=101.
Ainsi :
il y a 101101 carrés à l'étape 2525
Question 3

À quelle étape y a-t-il 8181 carrés ?

Correction
On enlève le carré central, 81−1=8081-1=80, puis on partage entre les 44 branches, 80÷4=2080\div 4=20.
Vérification : 1+(4×20)=811+(4\times 20)=81.
Ainsi :
à l'étape 2020

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