Les motifs évolutifs - Exercice 1

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Voici les trois premières étapes d'un motif formé de carrés.
Question 1

Combien de carrés y a-t-il à chaque étape ? Combien en faudra-t-il à l'étape 44 ?

Correction
  • On compte les éléments des premières étapes et on cherche ce qui s'ajoute d'une étape à la suivante.
  • On repère la structure du motif : une partie de départ, qui ne change pas, et une partie qui grandit avec le numéro de l'étape.
  • Pour trouver l'étape qui correspond à un nombre d'éléments, on remonte la règle avec les opérations inverses.
On compte 33, puis 55, puis 77 carrés. À chaque étape, on ajoute un carré au bout de chaque branche, soit 22 carrés : 7+2=97+2=9.
Ainsi :
il faudra 99 carrés à l'étape 44
Question 2

Décrire la structure du motif, puis calculer le nombre de carrés à l'étape 1010.

Correction
Chaque étape est formée d'un carré de coin (en orange) et de deux branches (en bleu), qui ont chacune autant de carrés que le numéro de l'étape.
À l'étape 1010 : 1+(2×10)=211+(2\times 10)=21.
Ainsi :
il y a 2121 carrés à l'étape 1010
Question 3

À quelle étape y a-t-il 5151 carrés ?

Correction
On remonte la règle : on enlève le carré de coin, 51−1=5051-1=50, puis on partage entre les deux branches, 50÷2=2550\div 2=25.
Vérification : 1+(2×25)=511+(2\times 25)=51.
Ainsi :
à l'étape 2525

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