Devoir type n°2 (1 h) : balances, suites et motifs évolutifs - Exercice 4

15 min
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Exercice noté sur 55 points.
Voici les premières étapes d'un motif d'allumettes.
Question 1

Combien d'allumettes faut-il à l'étape 44 ? (1 point)

Correction
  • On compte les éléments des premières étapes et on cherche ce qui s'ajoute d'une étape à la suivante.
  • On repère la structure du motif : une partie de départ, qui ne change pas, et une partie qui grandit avec le numéro de l'étape.
  • Pour trouver l'étape qui correspond à un nombre d'éléments, on remonte la règle avec les opérations inverses.
On compte 44, 77 et 1010 allumettes : on en ajoute 33 à chaque étape. 10+3=1310+3=13.
Ainsi :
il faut 1313 allumettes à l'étape 44
Question 2

Décrire la structure du motif. (1,5 points)

Correction
Il y a une allumette de départ (en orange), puis 33 allumettes pour chaque carré (en bleu). Par exemple, à l'étape 44 : 1+(3×4)=131+(3\times 4)=13.
Ainsi :
à l'étape nn, il faut 1+(3×n)1+(3\times n) allumettes
Question 3

Combien d'allumettes faut-il à l'étape 3030 ? (1 point)

Correction
1+(3×30)=911+(3\times 30)=91.
Ainsi :
il faut 9191 allumettes
Question 4

Peut-on construire une étape avec exactement 100100 allumettes ? (1,5 points)

Correction
On remonte la règle : 100−1=99100-1=99 et 99÷3=3399\div 3=33 ; la division tombe juste.
Vérification : 1+(3×33)=1001+(3\times 33)=100.
Ainsi :
oui, c'est l'étape 3333

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