Cours : résoudre des problèmes avec des schémas en barres et des balances

Le schéma en barres « parties et tout »

Définition

Dans un schéma en barres, chaque quantité est représentée par une barre dont la longueur correspond à sa valeur. On y écrit les nombres connus, et « ? » pour le nombre cherché.
Quand une quantité (le tout) est formée de plusieurs parties : pour trouver le tout, on additionne les parties ; pour trouver une partie, on soustrait au tout les autres parties.
Quand le tout est partagé en parts égales : une part $=$ le tout $\div$ le nombre de parts.

\pink{\text{Exemple :}}

Une classe compte

28

élèves, dont

13

filles. Combien y a-t-il de garçons ?
Le tout est

28

; une partie est connue (

13

), l'autre est cherchée.

28-13=15

. Vérification :

13+15=28

.
Ainsi :

il y a

15

garçons

\pink{\text{Exemple :}}

Un ruban de

96\text{ cm}

est coupé en

4

morceaux de même longueur. Combien mesure chaque morceau ?
Le tout est partagé en

4

parts égales.

96\text{ cm}\div 4=24\text{ cm}

. Vérification :

4\times 24\text{ cm}=96\text{ cm}

.
Ainsi :

chaque morceau mesure

24\text{ cm}

Le schéma en barres de comparaison

Définition

Pour comparer deux quantités, on dessine une barre pour chacune, l'une sous l'autre, alignées à gauche.
« $12$ de plus » : la seconde barre dépasse la première d'un morceau de longueur $12$ .
« $4$ fois plus » : la seconde barre est formée de $4$ morceaux égaux à la première.

\pink{\text{Exemple :}}

Léa et Tom ont ensemble

50\text{ €}

. Léa a

12\text{ €}

de plus que Tom. Combien chacun a-t-il ?

Si on enlève les $12\text{ €}$ d'avance de Léa, il reste deux barres égales : $50\text{ €}-12\text{ €}=38\text{ €}$ .
Tom a la moitié de cette somme : $38\text{ €}\div 2=19\text{ €}$ .
Léa a $19\text{ €}+12\text{ €}=31\text{ €}$ .

Vérification :

19\text{ €}+31\text{ €}=50\text{ €}

31\text{ €}-19\text{ €}=12\text{ €}

.
Ainsi :

Tom a

19\text{ €}

et Léa a

31\text{ €}

\pink{\text{Exemple :}}

Un livre coûte

4

fois plus cher qu'un stylo. Ensemble, ils coûtent

15\text{ €}

. Quel est le prix de chacun ?

Le schéma compte $1+4=5$ parts égales en tout.
Une part : $15\text{ €}\div 5=3\text{ €}$ ; c'est le prix du stylo.
Le livre : $4\times 3\text{ €}=12\text{ €}$ .

Vérification :

3\text{ €}+12\text{ €}=15\text{ €}

.
Ainsi :

le stylo coûte

3\text{ €}

et le livre

12\text{ €}

Les balances

Propriétés

Une balance est en équilibre quand ses deux plateaux portent la même masse.
Elle reste en équilibre si l'on enlève (ou si l'on ajoute) la même masse sur les deux plateaux.
Elle reste aussi en équilibre si l'on partage les deux plateaux en un même nombre de parts égales.

\pink{\text{Exemple :}}

La balance est en équilibre et les cubes ont tous la même masse. Combien pèse un cube ?

On enlève $2\text{ kg}$ sur chaque plateau : $3$ cubes pèsent $14\text{ kg}-2\text{ kg}=12\text{ kg}$ .
On partage en $3$ : un cube pèse $12\text{ kg}\div 3=4\text{ kg}$ .

Vérification :

(3\times 4\text{ kg})+2\text{ kg}=14\text{ kg}

.
Ainsi :

un cube pèse

4\text{ kg}

\pink{\text{Exemple :}}

Cette fois, il y a des cubes sur les deux plateaux. Combien pèse un cube ?

On enlève $2$ cubes de chaque côté : il reste $3$ cubes et $1\text{ kg}$ à gauche, $10\text{ kg}$ à droite.
On enlève $1\text{ kg}$ de chaque côté : $3$ cubes pèsent $10\text{ kg}-1\text{ kg}=9\text{ kg}$ .
On partage en $3$ : un cube pèse $9\text{ kg}\div 3=3\text{ kg}$ .

Vérification : à gauche,

(5\times 3\text{ kg})+1\text{ kg}=16\text{ kg}

; à droite,

(2\times 3\text{ kg})+10\text{ kg}=16\text{ kg}

.
Ainsi :

un cube pèse

3\text{ kg}

Résoudre un problème avec un nombre inconnu

Méthode

On repère le nombre cherché et on le représente par un « ? » (ou par un objet sur une balance).
On traduit l'énoncé par un schéma en barres ou par une balance.
On calcule à partir du schéma, étape par étape.
On vérifie que le résultat respecte toutes les données de l'énoncé, puis on répond par une phrase.

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