Cours : les suites de nombres et les motifs évolutifs

Les suites de nombres

Définition
  • Une suite de nombres est une liste de nombres écrits dans un ordre précis.
  • Souvent, une même règle permet de passer d'un nombre au suivant : ajouter, soustraire ou multiplier par un même nombre.
  • Pour trouver la règle, on compare chaque nombre au précédent.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Continuer la suite 55 ; 99 ; 1313 ; 1717 ; …
On passe d'un nombre au suivant en ajoutant 44 : 9−5=49-5=4, 13−9=413-9=4 et 17−13=417-13=4.

17+4=2117+4=21 et 21+4=2521+4=25.
Ainsi :
les deux nombres suivants sont 2121 et 2525
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Continuer la suite 33 ; 66 ; 1212 ; 2424 ; …
Ici, les écarts ne sont pas égaux (33, 66, puis 1212), mais chaque nombre est le double du précédent : on multiplie par 22.

24×2=4824\times 2=48 et 48×2=9648\times 2=96.
Ainsi :
les deux nombres suivants sont 4848 et 9696

Les motifs évolutifs

Définition
  • Un motif évolutif est une suite de dessins, appelés étapes, qui se transforment toujours de la même façon d'une étape à la suivante.
  • Pour l'étudier, on cherche ce qui reste pareil et ce qui s'ajoute à chaque étape : c'est la structure du motif.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} On construit des carrés alignés avec des allumettes.

On compte 44 allumettes à l'étape 11, 77 à l'étape 22 et 1010 à l'étape 33 : on en ajoute 33 à chaque étape.
Structure : une allumette de départ (en orange), puis 33 allumettes pour chaque carré (en bleu).
Ainsi :
à l'étape 33, il faut 1+(3×3)=101+(3\times 3)=10 allumettes
Tableau de valeurs :\pink{\text{Tableau de valeurs :}} on range les nombres d'allumettes des premières étapes dans un tableau.

On lit 44, 77, 1010, 1313 et 1616 allumettes : d'une colonne à la suivante, on ajoute 33. Pour l'étape 1010, il est plus rapide d'utiliser la structure : 1+(3×10)=311+(3\times 10)=31.
Écrire la règle
  • Avec des mots : le nombre d'allumettes est égal à 11 plus 33 fois le numéro de l'étape.
  • Avec une lettre : à l'étape nn, il faut 1+(3×n)1+(3\times n) allumettes.
Probleˋme inverse :\pink{\text{Problème inverse :}} à quelle étape faut-il 6161 allumettes ?
On remonte la règle : on enlève l'allumette de départ, puis on divise par 33 : 61−1=6061-1=60 et 60÷3=2060\div 3=20.

Vérification : 1+(3×20)=611+(3\times 20)=61.
Ainsi :
il faut 6161 allumettes à l'étape 2020
Attention :\red{\text{Attention :}} chaque carré a 44 côtés, mais deux carrés voisins partagent une allumette. À l'étape 1010, il ne faut donc pas 4×10=404\times 10=40 allumettes, mais seulement 3131.

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