Cours : le signe égal, les égalités à trous et les programmes de calcul

Le sens du signe « = »

Définition
  • Le signe « == » signifie que ce qui est écrit à sa gauche et ce qui est écrit à sa droite représentent le même nombre.
  • Il ne veut pas seulement dire « voici le résultat » : on peut écrire une égalité entre deux calculs, comme 8+5=6+78+5=6+7, ou écrire le résultat à gauche, comme 13=8+513=8+5.
  • Une égalité est vraie si ses deux côtés donnent le même nombre ; sinon, elle est fausse.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} L'égalité 8+5=?6+78+5\stackrel{?}{=}6+7 est-elle vraie ?
On calcule chaque côté : 8+5=138+5=13 et 6+7=136+7=13. Sur le schéma, les deux barres ont la même longueur.

Ainsi :
l'égalité 8+5=6+78+5=6+7 est vraie
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} L'égalité 4×5=?20+14\times 5\stackrel{?}{=}20+1 est-elle vraie ?
On calcule chaque côté : 4×5=204\times 5=20 et 20+1=2120+1=21. Les deux côtés ne donnent pas le même nombre.
Ainsi :
l'égalité est fausse
Attention :\red{\text{Attention :}} pour enchaîner deux calculs, on écrit deux égalités : 3+4=73+4=7, puis 7×2=147\times 2=14. On ne les écrit pas sur une seule ligne, car 3+43+4 vaut 77 et non 1414.

Les égalités à trous

Méthode
  • Dans une égalité à trous, on cherche le nombre manquant, noté « …\ldots ».
  • On calcule d'abord le côté où il n'y a pas de trou.
  • Puis on utilise l'opération inverse : l'addition et la soustraction sont inverses l'une de l'autre ; la multiplication et la division aussi.
  • On vérifie en remplaçant le trou par le nombre trouvé.
Les quatre cas
  • …+12=30\ldots+12=30 : on cherche ce qu'il faut ajouter à 1212 pour obtenir 3030 ; c'est 30−12=1830-12=18.
  • …−12=30\ldots-12=30 : le nombre manquant est 30+12=4230+12=42.
  • …×6=30\ldots\times 6=30 : le nombre manquant est 30÷6=530\div 6=5.
  • …÷6=30\ldots\div 6=30 : le nombre manquant est 30×6=18030\times 6=180.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Trouver le nombre manquant : 178−…=6×8178-\ldots=6\times 8.
  • On calcule le côté sans trou : 6×8=486\times 8=48. Il faut donc que 178−…=48178-\ldots=48.
  • Sur le schéma, la barre de 178178 est formée du nombre cherché et de 4848 : le nombre cherché est 178−48=130178-48=130.

Vérification : 178−130=48178-130=48 et 6×8=486\times 8=48.
Ainsi :
le nombre manquant est 130130
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Trouver le nombre manquant : …×7=56\ldots\times 7=56.
Le nombre cherché, pris 77 fois, donne 5656 : on partage 5656 en 77 parts égales.

56÷7=856\div 7=8. Vérification : 8×7=568\times 7=56.
Ainsi :
le nombre manquant est 88

Les programmes de calcul

Définition
  • Un programme de calcul est une liste d'opérations à effectuer dans l'ordre, à partir d'un nombre choisi au départ.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Programme : « Choisir un nombre. Le multiplier par 33. Ajouter 55 au résultat. »
On choisit 77 : 7×3=217\times 3=21, puis 21+5=2621+5=26.

On peut aussi écrire le calcul en une seule ligne, avec des parenthèses autour du calcul fait en premier : (7×3)+5=26(7\times 3)+5=26.
Ainsi :
en partant de 77, on obtient 2626
Remonter un programme
  • Pour retrouver le nombre de départ à partir du résultat, on part de la fin et on effectue les opérations inverses, dans l'ordre inverse.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Avec le même programme, on a obtenu 4141. Quel était le nombre de départ ?
On remonte le programme : on enlève 55, puis on divise par 33 : 41−5=3641-5=36 et 36÷3=1236\div 3=12.

Vérification : 12×3=3612\times 3=36 et 36+5=4136+5=41.
Ainsi :
le nombre de départ était 1212
Remarque :\pink{\text{Remarque :}} si l'on appelle NN le nombre de départ, le résultat de ce programme s'écrit (N×3)+5(N\times 3)+5. La lettre NN désigne n'importe quel nombre.

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