Cours : aire du rectangle et du carré

Aire d'un rectangle

Propriété
  • L'aire d'un rectangle de longueur LL et de largeur ℓ\ell est :
    A=L×ℓ\mathcal{A}=L\times \ell
  • Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité : si elles sont en cm, l'aire est en cm².
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un rectangle mesure 5 cm5\text{ cm} sur 3 cm3\text{ cm}.

Il est formé de 33 rangées de 55 carreaux de 1 cm21\text{ cm}^2 : 3×5=153\times 5=15 carreaux.
A=5 cm×3 cm=15 cm2\mathcal{A}=5\text{ cm}\times 3\text{ cm}=15\text{ cm}^2. Ainsi :
l'aire du rectangle est 15 cm215\text{ cm}^2

Aire d'un carré

Propriété
  • L'aire d'un carré de côté cc est :
    A=c×c\mathcal{A}=c\times c
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un carré a pour côté 4 cm4\text{ cm}.

A=4 cm×4 cm=16 cm2\mathcal{A}=4\text{ cm}\times 4\text{ cm}=16\text{ cm}^2. Ainsi :
l'aire du carré est 16 cm216\text{ cm}^2

Remplacer les lettres par des nombres

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Calculer l'aire et le périmètre d'un rectangle de longueur L=7,5 cmL=7{,}5\text{ cm} et de largeur ℓ=4 cm\ell=4\text{ cm}.

A=L×ℓ=7,5 cm×4 cm=30 cm2\mathcal{A}=L\times \ell=7{,}5\text{ cm}\times 4\text{ cm}=30\text{ cm}^2.
P=2×(L+ℓ)=2×(7,5 cm+4 cm)=2×11,5 cm=23 cm\mathcal{P}=2\times (L+\ell)=2\times (7{,}5\text{ cm}+4\text{ cm})=2\times 11{,}5\text{ cm}=23\text{ cm}.
Ainsi :
A=30 cm2\mathcal{A}=30\text{ cm}^2 et P=23 cm\mathcal{P}=23\text{ cm}

Attention :\red{\text{Attention :}} une aire s'exprime en cm², un périmètre en cm.

Attention aux unités

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un tapis mesure 2 m2\text{ m} sur 40 cm40\text{ cm}. Les longueurs ne sont pas dans la même unité : on convertit 40 cm=0,4 m40\text{ cm}=0{,}4\text{ m}.
A=2 m×0,4 m=0,8 m2\mathcal{A}=2\text{ m}\times 0{,}4\text{ m}=0{,}8\text{ m}^2. Ainsi :
l'aire du tapis est 0,8 m20{,}8\text{ m}^2

Autre meˊthode :\blue{\text{Autre méthode :}} en cm, 200 cm×40 cm=8  000 cm2200\text{ cm}\times 40\text{ cm}=8\;000\text{ cm}^2, et 8  000 cm2=0,8 m28\;000\text{ cm}^2=0{,}8\text{ m}^2.

Aire d'une figure composée

Méthode
  • On découpe la figure en rectangles et on additionne leurs aires ;
  • ou on la voit comme un grand rectangle auquel il manque un morceau, et on soustrait l'aire de ce morceau.
Meˊthode 1 (deˊcouper) :\pink{\text{Méthode 1 (découper) :}}

Le rectangle bleu mesure 4 cm4\text{ cm} sur 6 cm6\text{ cm} : 4 cm×6 cm=24 cm24\text{ cm}\times 6\text{ cm}=24\text{ cm}^2.
Le rectangle orange mesure 8 cm−4 cm=4 cm8\text{ cm}-4\text{ cm}=4\text{ cm} sur 3 cm3\text{ cm} : 4 cm×3 cm=12 cm24\text{ cm}\times 3\text{ cm}=12\text{ cm}^2.
24 cm2+12 cm2=36 cm224\text{ cm}^2+12\text{ cm}^2=36\text{ cm}^2. Ainsi :
l'aire de la figure est 36 cm236\text{ cm}^2
Meˊthode 2 (soustraire) :\pink{\text{Méthode 2 (soustraire) :}}

Le grand rectangle mesure 8 cm8\text{ cm} sur 6 cm6\text{ cm} : 8 cm×6 cm=48 cm28\text{ cm}\times 6\text{ cm}=48\text{ cm}^2. Il lui manque un rectangle de 4 cm4\text{ cm} sur 3 cm3\text{ cm}, soit 12 cm212\text{ cm}^2.
48 cm2−12 cm2=36 cm248\text{ cm}^2-12\text{ cm}^2=36\text{ cm}^2 : on retrouve le même résultat.

Retrouver une longueur

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un rectangle a une aire de 24 cm224\text{ cm}^2 et une longueur de 6 cm6\text{ cm}. Sa largeur ℓ\ell vérifie 6×ℓ=246\times \ell=24, donc ℓ=24÷6=4\ell=24\div 6=4.
Veˊrification :\blue{\text{Vérification :}} 6 cm×4 cm=24 cm26\text{ cm}\times 4\text{ cm}=24\text{ cm}^2.
Ainsi :
la largeur est ℓ=4 cm\ell=4\text{ cm}
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Un carré a une aire de 49 cm249\text{ cm}^2. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 4949 : 7×7=497\times 7=49.
Ainsi :
le côté du carré mesure 7 cm7\text{ cm}

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