La symétrie centrale

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

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Exercices, définitions de cours.
Question 1

Si les points EE et E′E' sont symétriques par rapport au point OO, que peut-on dire du point O  ?O\;?

Correction
    Définition d'une symétrie d'un point par une symétrie centrale :

    Si le point A′A' est le symétrique du point AA par rapport au point O alors :
  • Le point OO est le milieu du segment [AA′][AA'].

On sait que les points EE et E′E' sont symétriques par rapport au point OO, alors le point OO est le milieu du segment [EE′]\color{blue}[EE']
Question 2
On considère 33 points alignés A,BA,B et C.C.
Les points A′,B′,A',B', et C′C' sont les images respectives des points A,BA,B et CC par une symétrie de centre OO.

Que peut-on dire des points A′,B′,A',B', et C′  ?C'\;?

Correction
On peut dans un premier temps représenter la situation ci-dessous à l'aide d'une figure :
    On sait que la symétrie centrale conserve l’alignement des points.
Les points A′,B′,A',B', et C′C' sont les images respectives des points A,BA,B et CC par une symétrie de centre OO.
Les points A,BA,B et CC sont alignés.
Or la symétrie centrale conserve l'alignement des points, donc les points A′,B′,\color{blue}A',B', et C′\color{blue}C' sont alignés.

Question 3

Que peut-on dire de deux angles symétriques par rapport à un point O  ?O\;?

Correction
On peut dans un premier temps représenter la situation ci-dessous à l'aide d'une figure :
    La symétrie centrale conserve : la mesure des angles.
L'image de l'angle ABC^\widehat{ABC} est l'angle A′B′C′^\widehat{A'B'C'}.
On sait que la symétrie conserve la mesure des angles.
Donc ABC^=A′B′C′^=73°.\boxed{\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}=73\degree.}
Cela signifie que deux angles symétriques par rapport à un point seront de la même mesure.
Question 4

Considérons deux figures symétriques par rapport à un point OO.
Par quel mouvement passe-t-on de la figure de départ à la figure d'arrivée ?

Correction
    Deux figures sont symétriques par rapport à un point lorsqu’elles se superposent en effectuant un demi-tour autour de ce point.
D'après la propriété sur la symétrie centrale, on peut donc dire qu'on passe de la figure de départ à la figure d'arrivée en effectuant un demi-tour.