🔴  Lives #BAC2024

À partir du 12 mai, révise le bac avec nous sur YouTube tous les soirs à 19h30 ! Découvrir la chaîne →

Triangles semblables

Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

10 min
25
Question 1
Soit IJKLIJKL un rectangle.
Soit HH le pied de la hauteur issue de II dans le triangle ILJILJ.
On note OO le point d'intersection des droites (IH)(IH) et (LK)(LK).

Faire une figure.

Correction
Question 2

Montrer que les angles JIH^\widehat{JIH} et LOH^\widehat{LOH} sont de la même mesure.

Correction
Deux droites coupées par une sécante forment deux paires d'angles alternes-internes.
Exemple : les angles en bleus ci-dessous sont alternes-internes.

Sur la figure on constate que les angles JIH^\widehat{JIH} et LOH^\widehat{LOH} sont alternes-internes.
De plus les droites (IJ)(IJ) et (LK)(LK) coupées par la sécantes sont parallèles (car IJKLIJKL est un rectangle).
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles forment des angles alternes-internes deux à deux de même mesure.

On peut donc en déduire que les angles JIH^\widehat{JIH} et LOH^\widehat{LOH} sont de la même mesure.
Question 3

Montrer que les triangles ILOILO et IHJIHJ sont semblables.

Correction
Si deux triangles ont seulement deux paires d'angles de même mesure alors ils sont semblables.
Dans la question précédente, on a démontré que les angles JIH^\widehat{JIH} et LOH^\widehat{LOH} sont de même mesure.
On peut donc déjà en déduire que les deux triangles ont une paire d'angles de même mesure.

Dans un second temps, on sait que les triangles ILOILO et IHJIHJ sont rectangles, par conséquent :
Dans le triangle ILOILO on à : ILO^=90\widehat{ILO}=90{}^\circ.
Dans le triangle IHJIHJ on à : IHJ^=90\widehat{IHJ}=90{}^\circ.

On a donc :
ILO^=IHJ^\widehat{ILO}=\widehat{IHJ}

Ici on constate déjà que les deux triangles ont une deuxième paire d'angles de même mesure.
On peut donc conclure que les deux triangles ont deux paires d'angles de la même mesure, ils sont donc semblables.