Pyramides et cônes

Savoir calculer le volume d'une pyramide - Exercice 3

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Question 1
On considère la figure ci-dessous :

Ici ABDCABDC est une pyramide régulière de sommet DD et de base un triangle ABCABC rectangle en C.C.
  • [CD][CD] est la hauteur de la pyramide.
  • Calculer la mesure du segment [AC][AC].

    Correction
    Comme le triangle ABCABC est rectangle en CC avec BC=3BC = 3 cm et AB=5AB = 5 cm . On peut appliquer le théorème de Pythagore :
    AB2=AC2+BC2AB^{2} =AC^{2} +BC^{2}
    • (Le coˆteˊ que l’on recherche\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\text{l'hypoténuse})2^{2} - (le coteˊ que l’on connait\text{le coté que l'on connait} )2^{2} .
    On a alors :
    AC2=AB2BC2AC^{2} =AB^{2} -BC^{2}
    AC2=5232AC^{2} =5^{2} -3^{2}
    AC2=259AC^{2} =25-9
    AC2=16AC^{2} =16 . Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de ACAC.
    D'où :
    AC=16=4  cm\color{blue}\boxed{AC=\sqrt{16}=4\; cm}.
    Question 2
    Ici on donne DB  =  7  cm.DB\;=\;7\;cm.

    Calculer la hauteur [CD][CD] de la pyramide. Donner le résultat arrondi au dixième près.

    Correction
    Comme le triangle BCDBCD est rectangle en CC avec BC=3BC = 3 cm et DB=7DB = 7 cm . On peut appliquer le théorème de Pythagore :
    BD2=BC2+DC2BD^{2} =BC^{2} +DC^{2}
    • (Le coˆteˊ que l’on recherche\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\text{l'hypoténuse})2^{2} - (le coteˊ que l’on connait\text{le coté que l'on connait} )2^{2} .
    On a alors :
    DC2=BD2BC2DC^{2} =BD^{2} -BC^{2}
    DC2=7232DC^{2} =7^{2} -3^{2}
    DC2=499DC^{2} =49-9
    DC2=40DC^{2} =40 . Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de DCDC.
    D'où :
    DC=40  6,32  cm\color{blue}\boxed{DC=\sqrt{40}\approx\;6,32\; cm}.
    La hauteur de la pyramide ( Le segment [DC][DC]) mesure 6,3  cm6,3\;cm ( arrondi au dixièmre près.)
    Question 3

    Calculer le volume de la pyramide ABDC.ABDC.

    Correction
    • Pour calculer le volume d'une pyramide, on utilise la formule ci-dessous :
      Volumepyramide=Airedelabase×lahauteur3\footnotesize\color{red}Volume_{\;pyramide}=\frac{Aire\;de\;la\;base\times{la\;hauteur}}{3}
    Ici à l'aide de la figure, on constate que la base de la pyramide est le triangle ABC rectangle en C.
    Or pour rappel, l'aire d'un triangle est : Airetriangle=base×hauteur2Aire_{triangle}=\frac{base\times{hauteur}}{2}
    Dans un triangle rectangle, la base et la hauteur du triangle sont les cotés de l'angle droit.
    Airetriangle=3×42=6  cm2Aire_{triangle}=\frac{3\times{4}}{2}=6\;cm^2
    Maintenant que l'on connait l'aire de la base, on peut calculer le volume de la pyramide :
    Volume    pyramide=Aire  de  la  base×la  hauteur3\small\color{red}Volume_{\;\;pyramide}=\frac{Aire\;de\;la\;base\times{la\;hauteur}}{3}
    Volume    pyramide=6×6,33        \color{black}Volume_{\;\;pyramide}=\frac{6\times{6,3}}{3}\;\;\Rightarrow\;\;Ici la hauteur [DC][DC] est de 6,3 cm.
    Volume    pyramide=37,83=12,6  cm3\boxed{\color{black}Volume_{\;\;pyramide}=\frac{37,8}{3}=12,6\;cm^3}